Страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1089. При каких значениях $x$ значения функции $y = 5x - 3$:

а) больше 1;

б) меньше 5;

в) не меньше -2;

г) не больше -5?

Для решения задачи необходимо подставить выражение для функции $y=5x-3$ в соответствующие неравенства и решить их относительно $x$.

а) значения функции больше 1

Это условие можно записать в виде неравенства $y > 1$. Подставим выражение для $y$:

$5x - 3 > 1$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$5x > 1 + 3$

$5x > 4$

Разделим обе части на 5:

$x > \frac{4}{5}$

$x > 0.8$

Ответ: при $x > 0.8$.

б) значения функции меньше 5

Это условие можно записать в виде неравенства $y < 5$. Подставим выражение для $y$:

$5x - 3 < 5$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$5x < 5 + 3$

$5x < 8$

Разделим обе части на 5:

$x < \frac{8}{5}$

$x < 1.6$

Ответ: при $x < 1.6$.

в) значения функции не меньше -2

Выражение "не меньше" означает "больше или равно" ($\ge$). Запишем неравенство $y \ge -2$:

$5x - 3 \ge -2$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$5x \ge -2 + 3$

$5x \ge 1$

Разделим обе части на 5:

$x \ge \frac{1}{5}$

$x \ge 0.2$

Ответ: при $x \ge 0.2$.

г) значения функции не больше -5

Выражение "не больше" означает "меньше или равно" ($\le$). Запишем неравенство $y \le -5$:

$5x - 3 \le -5$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$5x \le -5 + 3$

$5x \le -2$

Разделим обе части на 5:

$x \le -\frac{2}{5}$

$x \le -0.4$

Ответ: при $x \le -0.4$.

1090. Найдите значение x, для которого соответствующее значение функции y является наименьшим, если:

a) $y = (x + 1)^2 - 3$

б) $y = (x - 2)^2 + 5$

а) $y = (x + 1)^2 - 3$

Данная функция является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $(x+1)^2$ равен 1 (положительное число). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Чтобы найти значение $x$, при котором функция $y$ будет наименьшей, нужно найти условие, при котором слагаемое $(x + 1)^2$ принимает свое наименьшее значение. Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 1)^2 \ge 0$, его наименьшее значение равно 0.

Это наименьшее значение достигается тогда, когда основание степени равно нулю:

$x + 1 = 0$

Решая это уравнение, находим $x$:

$x = -1$

При этом значении $x$ функция $y$ принимает свое наименьшее значение, равное $y_{наим} = (-1+1)^2 - 3 = 0^2 - 3 = -3$.

Ответ: $x = -1$.

б) $y = (x - 2)^2 + 5$

Эта функция также является квадратичной с параболой, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение функции достигается в ее вершине.

Значение функции $y$ будет наименьшим, когда слагаемое $(x - 2)^2$ будет наименьшим. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$, его наименьшее значение равно 0.

Это значение достигается, когда основание степени равно нулю:

$x - 2 = 0$

Решая уравнение, получаем:

$x = 2$

При этом значении $x$ функция $y$ принимает свое наименьшее значение, равное $y_{наим} = (2-2)^2 + 5 = 0^2 + 5 = 5$.

Ответ: $x = 2$.

1091. Среди положительных чисел найдите число x, при котором значение функции y является наименьшим, если:

а) $y = x + \frac{1}{x}$;

б) $y = 9x + \frac{1}{x}$;

в) $y = x + \frac{1}{4x}$;

г) $y = 4x + \frac{1}{25x}$.

Для нахождения числа $x$, при котором значение функции $y$ является наименьшим, воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$. Равенство, а следовательно, и наименьшее значение суммы $a+b$, достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Поскольку по условию задачи $x$ — положительное число, все слагаемые в представленных функциях также положительны, и к ним можно применить данное неравенство.

а) $y = x + \frac{1}{x}$

Применим неравенство Коши к слагаемым $x$ и $\frac{1}{x}$:

$y = x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{1} = 2$

Наименьшее значение достигается при равенстве слагаемых:

$x = \frac{1}{x} \implies x^2 = 1$

Так как $x > 0$, то $x=1$.

Ответ: $x=1$.

б) $y = 9x + \frac{1}{x}$

Применим неравенство Коши к слагаемым $9x$ и $\frac{1}{x}$:

$y = 9x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{9x \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{9} = 6$

Наименьшее значение достигается при равенстве слагаемых:

$9x = \frac{1}{x} \implies 9x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{9}$

Так как $x > 0$, то $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x=\frac{1}{3}$.

в) $y = x + \frac{1}{4x}$

Применим неравенство Коши к слагаемым $x$ и $\frac{1}{4x}$:

$y = x + \frac{1}{4x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{4x}} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 1$

Наименьшее значение достигается при равенстве слагаемых:

$x = \frac{1}{4x} \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4}$

Так как $x > 0$, то $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x=\frac{1}{2}$.

г) $y = 4x + \frac{1}{25x}$

Применим неравенство Коши к слагаемым $4x$ и $\frac{1}{25x}$:

$y = 4x + \frac{1}{25x} \ge 2\sqrt{4x \cdot \frac{1}{25x}} = 2\sqrt{\frac{4}{25}} = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

Наименьшее значение достигается при равенстве слагаемых:

$4x = \frac{1}{25x} \implies 100x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{100}$

Так как $x > 0$, то $x = \frac{1}{10}$.

Ответ: $x=\frac{1}{10}$.

1092. Решите неравенство, считая, что $a$ — данное число:

а) $ax > 0;$

б) $ax > 1;$

в) $ax + 1 > 3;$

г) $ax - 8 < 11;$

д) $ax > x;$

е) $ax + 1 > x.$

а) $ax > 0$
Решение этого линейного неравенства относительно $x$ зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три возможных случая:
1. Если $a > 0$, то при делении обеих частей неравенства на положительное число $a$ знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{0}{a}$
$x > 0$
2. Если $a < 0$, то при делении обеих частей на отрицательное число $a$ знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{0}{a}$
$x < 0$
3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x > 0$, то есть $0 > 0$. Это утверждение ложно, следовательно, при $a=0$ неравенство не имеет решений.
Ответ: если $a > 0$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a = 0$, то решений нет.

б) $ax > 1$
Как и в предыдущем случае, решение зависит от знака $a$:
1. Если $a > 0$, делим обе части на $a$, знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{1}{a}$
2. Если $a < 0$, делим обе части на $a$, знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{1}{a}$
3. Если $a = 0$, получаем неравенство $0 \cdot x > 1$, или $0 > 1$. Это ложное утверждение, поэтому решений нет.
Ответ: если $a > 0$, то $x > \frac{1}{a}$; если $a < 0$, то $x < \frac{1}{a}$; если $a = 0$, то решений нет.

в) $ax + 1 > 3$
Сначала преобразуем неравенство, перенеся 1 в правую часть:
$ax > 3 - 1$
$ax > 2$
Теперь решение зависит от знака $a$:
1. Если $a > 0$, делим на $a$ без изменения знака неравенства:
$x > \frac{2}{a}$
2. Если $a < 0$, делим на $a$ и меняем знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{2}{a}$
3. Если $a = 0$, получаем $0 \cdot x > 2$, или $0 > 2$. Это ложно, решений нет.
Ответ: если $a > 0$, то $x > \frac{2}{a}$; если $a < 0$, то $x < \frac{2}{a}$; если $a = 0$, то решений нет.

г) $ax - 8 < 11$
Перенесем -8 в правую часть неравенства:
$ax < 11 + 8$
$ax < 19$
Рассмотрим случаи для $a$:
1. Если $a > 0$, то, разделив на $a$, получаем:
$x < \frac{19}{a}$
2. Если $a < 0$, то, разделив на $a$ и изменив знак неравенства, получаем:
$x > \frac{19}{a}$
3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x < 19$, или $0 < 19$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.
Ответ: если $a > 0$, то $x < \frac{19}{a}$; если $a < 0$, то $x > \frac{19}{a}$; если $a = 0$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

д) $ax > x$
Перенесём все члены, содержащие $x$, в левую часть и вынесем $x$ за скобки:
$ax - x > 0$
$x(a - 1) > 0$
Решение зависит от знака выражения $(a - 1)$:
1. Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$, делим обе части на положительное число $(a-1)$, знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{0}{a-1}$
$x > 0$
2. Если $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$, делим обе части на отрицательное число $(a-1)$ и меняем знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{0}{a-1}$
$x < 0$
3. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, неравенство принимает вид $x \cdot 0 > 0$, или $0 > 0$. Это ложно, решений нет.
Ответ: если $a > 1$, то $x > 0$; если $a < 1$, то $x < 0$; если $a = 1$, то решений нет.

е) $ax + 1 > x$
Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой:
$ax - x > -1$
$x(a - 1) > -1$
Рассмотрим случаи для выражения $(a - 1)$:
1. Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$, делим на положительное число $(a-1)$, знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{-1}{a-1}$
2. Если $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$, делим на отрицательное число $(a-1)$ и меняем знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{-1}{a-1}$
3. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, неравенство принимает вид $x \cdot 0 > -1$, или $0 > -1$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.
Ответ: если $a > 1$, то $x > \frac{-1}{a-1}$; если $a < 1$, то $x < \frac{-1}{a-1}$; если $a = 1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

Решите неравенство (1093–1096):

1093. а) $x^2 - 4x > 0;$

б) $x^2 + 3x \le 0;$

в) $3x^2 - x < 0;$

г) $4x^2 + x \ge 0;$

д) $x^2 - 9 < 0;$

е) $x^2 - 4 \ge 0.$

а) $x^2 - 4x > 0$. Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 4) = 0$. Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = x^2 - 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что функция принимает положительные значения вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

б) $x^2 + 3x \le 0$. Решим уравнение $x^2 + 3x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 3) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 0$. График функции $y = x^2 + 3x$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решение неравенства — это отрезок $[-3, 0]$.
Ответ: $x \in [-3, 0]$.

в) $3x^2 - x < 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 - x = 0$. Выносим $x$: $x(3x - 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/3$. График функции $y = 3x^2 - x$ — это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0). Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями, не включая концы. Таким образом, решение — это интервал $(0, 1/3)$.
Ответ: $x \in (0, 1/3)$.

г) $4x^2 + x \ge 0$. Сначала решим уравнение $4x^2 + x = 0$. Выносим $x$: $x(4x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = -1/4$ и $x_2 = 0$. График функции $y = 4x^2 + x$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни. Решение представляет собой объединение двух лучей: $(-\infty, -1/4]$ и $[0, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/4] \cup [0, +\infty)$.

д) $x^2 - 9 < 0$. Решим уравнение $x^2 - 9 = 0$. Это разность квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. График функции $y = x^2 - 9$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями. Следовательно, решение — это интервал $(-3, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, 3)$.

е) $x^2 - 4 \ge 0$. Решим уравнение $x^2 - 4 = 0$. Разложим на множители как разность квадратов: $(x - 2)(x + 2) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. График функции $y = x^2 - 4$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая концы. Решение — это объединение лучей $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

1094. a) $x^2 - 5x + 4 > 0;$

в) $x^2 + 5x + 4 \geq 0;$

д) $3x^2 - 2x - 5 > 0;$

б) $x^2 + 6x - 7 < 0;$

г) $x^2 - 6x - 7 \leq 0;$

e) $2x^2 + 3x + 1 < 0.$

а) Чтобы решить неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Либо можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$, $x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=4$.
Неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$ выполняется на тех интервалах, где график параболы находится выше оси абсцисс. Это происходит при $x < 1$ и при $x > 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x^2 + 6x - 7 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -6$, $x_1 \cdot x_2 = -7$. Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = 1$.
Через дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$.
$x_1 = \frac{-6 - 8}{2} = -7$, $x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1$.
Ветви параболы $y = x^2 + 6x - 7$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями, то есть на интервале, где парабола находится ниже оси абсцисс.
Ответ: $x \in (-7; 1)$.

в) Решим неравенство $x^2 + 5x + 4 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -5$, $x_1 \cdot x_2 = 4$. Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -1$.
Через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{-5 - 3}{2} = -4$, $x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$.
Ветви параболы $y = x^2 + 5x + 4$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y \geq 0$ выполняется на интервалах, где парабола находится выше или на оси абсцисс. Поскольку неравенство нестрогое, сами корни включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-1; +\infty)$.

г) Решим неравенство $x^2 - 6x - 7 \leq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$, $x_1 \cdot x_2 = -7$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 7$.
Через дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$.
$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$, $x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$.
Ветви параболы $y = x^2 - 6x - 7$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y \leq 0$ выполняется между корнями и в самих корнях, то есть на отрезке, где парабола находится ниже или на оси абсцисс.
Ответ: $x \in [-1; 7]$.

д) Решим неравенство $3x^2 - 2x - 5 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 5 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 8}{6}$.
$x_1 = \frac{2 - 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1$, $x_2 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x - 5$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $y > 0$ выполняется на интервалах, где парабола находится выше оси абсцисс.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$.

е) Решим неравенство $2x^2 + 3x + 1 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x + 1 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}$.
$x_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$, $x_2 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x + 1$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями, то есть на интервале, где парабола находится ниже оси абсцисс.
Ответ: $x \in (-1; -0.5)$.

1095. a) $x^2 + 2x + 1 > 0$;

в) $x^2 - 4x + 4 \ge 0$;

д) $-x^2 + 10x - 25 > 0$;

б) $x^2 - 6x + 9 < 0$;

г) $x^2 + 4x + 4 \le 0$;

е) $-x^2 + 8x - 16 < 0$.

а) $x^2 + 2x + 1 > 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом суммы, так как $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$(x+1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+1)^2 \ge 0$.
Равенство нулю достигается при $x+1=0$, то есть при $x=-1$.
Строгое неравенство $(x+1)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=-1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

б) $x^2 - 6x + 9 < 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом разности: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
Неравенство принимает вид:
$(x-3)^2 < 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.

в) $x^2 - 4x + 4 \ge 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Неравенство принимает вид:
$(x-2)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это свойство выполняется для любого значения $x$.
Следовательно, решением неравенства является любое действительное число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $x^2 + 4x + 4 \le 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата суммы: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
Неравенство принимает вид:
$(x+2)^2 \le 0$
Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен ($(x+2)^2 \ge 0$), то данное неравенство может выполняться только в одном случае — когда $(x+2)^2 = 0$.
Это равенство достигается при $x+2=0$, то есть при $x=-2$.
Ответ: $x = -2$.

д) $-x^2 + 10x - 25 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 - 10x + 25 < 0$
Левая часть является полным квадратом разности: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.
Неравенство принимает вид:
$(x-5)^2 < 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.

е) $-x^2 + 8x - 16 < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 8x + 16 > 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.
Неравенство принимает вид:
$(x-4)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Равенство нулю достигается при $x-4=0$, то есть при $x=4$.
Строгое неравенство $(x-4)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=4$.
Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

1096. a) $x^2 + 2x + 2 > 0;$

б) $x^2 - 2x + 2 < 0;$

в) $x^2 - 6x + 10 \ge 0;$

г) $x^2 + 6x + 10 \le 0.$

а) $x^2 + 2x + 2 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 + 2x + 2$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $x^2 + 2x + 2 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (Ox). Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше этой оси. Следовательно, значение выражения $x^2 + 2x + 2$ положительно при любом значении $x$.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1$.

Выражение $(x + 1)^2$ всегда больше или равно нулю для любого действительного $x$. Тогда $(x + 1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Так как $1 > 0$, то и выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда больше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $x^2 - 2x + 2 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 2x + 2$. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a > 0$).

Вычислим дискриминант для уравнения $x^2 - 2x + 2 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью Ox. Поскольку ветви направлены вверх, вся парабола лежит в верхней полуплоскости, а значит, значение выражения $x^2 - 2x + 2$ всегда положительно.

Выделим полный квадрат:

$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$.

Поскольку $(x - 1)^2 \ge 0$, то $(x - 1)^2 + 1 \ge 1$. Выражение всегда положительно.

Неравенство $x^2 - 2x + 2 < 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным, что невозможно. Следовательно, у неравенства нет решений.

Ответ: нет решений.

в) $x^2 - 6x + 10 \ge 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 6x + 10$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$).

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 6x + 10 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Дискриминант отрицательный, значит, парабола не пересекает ось Ox и целиком расположена над ней. Таким образом, выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно.

Выделим полный квадрат:

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1$.

Так как $(x - 3)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x - 3)^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение всегда положительно, а значит, всегда больше или равно нулю.

Неравенство $x^2 - 6x + 10 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $x^2 + 6x + 10 \le 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 6x + 10$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$).

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 + 6x + 10 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Дискриминант отрицательный, значит, парабола не пересекает ось Ox и целиком расположена над ней. Таким образом, выражение $x^2 + 6x + 10$ всегда положительно.

Выделим полный квадрат:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x + 3)^2 + 1$.

Так как $(x + 3)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x + 3)^2 + 1 \ge 1$. Выражение всегда положительно.

Неравенство $x^2 + 6x + 10 \le 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным или равным нулю, что невозможно. Следовательно, у неравенства нет решений.

Ответ: нет решений.

1097. Напишите неравенство второй степени с одним неизвестным, множество решений которого изображено на рисунке 95.

+ - +

$ -1 $ $ 3 $ $ x $

+ - +

$ -5 $ $ -1 $ $ x $

Рис. 95

Для левого графика:

На графике изображено множество решений $x \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty)$. Это означает, что соответствующая квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ положительна на этих интервалах.

Точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$ являются корнями квадратного уравнения, соответствующего неравенству. Поскольку точки на графике выколоты (незакрашенные кружки), неравенство является строгим (используются знаки $>$ или <).

Квадратный трехчлен с корнями $x_1$ и $x_2$ можно записать в виде $a(x - x_1)(x - x_2)$. Подставив наши корни, получаем: $a(x - (-1))(x - 3) = a(x + 1)(x - 3)$.

Из знаков на рисунке следует, что на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(3; \infty)$ выражение положительно. Это соответствует параболе, ветви которой направлены вверх. Следовательно, старший коэффициент $a$ должен быть положительным. Для простоты выберем $a=1$.

Таким образом, неравенство имеет вид $(x + 1)(x - 3) > 0$. Чтобы привести его к стандартному виду $ax^2+bx+c>0$, раскроем скобки: $x^2 - 3x + x - 3 > 0$ $x^2 - 2x - 3 > 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 3 > 0$.

Для правого графика:

На графике изображено множество решений $x \in (-5; -1)$. Это означает, что соответствующая квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ отрицательна на этом интервале.

Точки $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения. Точки выколоты, значит, неравенство строгое.

Квадратный трехчлен с данными корнями можно записать в виде: $a(x - (-5))(x - (-1)) = a(x + 5)(x + 1)$.

Решением является интервал, где функция отрицательна (знак "–"). Знаки "+" на интервалах $(-\infty; -5)$ и $(-1; \infty)$ показывают, что ветви параболы направлены вверх. Следовательно, коэффициент $a$ должен быть положительным. Для простоты выберем $a=1$.

Таким образом, неравенство имеет вид $(x + 5)(x + 1) < 0$. Раскроем скобки для получения стандартного вида: $x^2 + x + 5x + 5 < 0$ $x^2 + 6x + 5 < 0$.

Ответ: $x^2 + 6x + 5 < 0$.

1098. При каких значениях b неравенство не имеет решений:

а) $3x^2 - bx - 1 < 0;$

б) $x^2 + bx + 4 < 0?$

а) Рассмотрим неравенство $3x^2 - bx - 1 < 0$. Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = 3x^2 - bx - 1$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $3$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $3x^2 - bx - 1 < 0$ просит найти значения $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс (оси Ox). Чтобы это неравенство не имело решений, необходимо, чтобы парабола нигде не была ниже оси Ox. Это означает, что она должна целиком располагаться выше оси Ox или касаться ее в одной точке (в вершине).

Такое расположение параболы возможно, если соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - bx - 1 = 0$ не имеет действительных корней или имеет один действительный корень. Это условие эквивалентно тому, что дискриминант $D$ квадратного трехчлена должен быть меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Найдем дискриминант для трехчлена $3x^2 - bx - 1$: $D = (-b)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = b^2 + 12$.

Теперь применим условие $D \le 0$: $b^2 + 12 \le 0$ $b^2 \le -12$

Квадрат любого действительного числа $b$ всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$. Поэтому неравенство $b^2 \le -12$ не имеет решений.

Это означает, что дискриминант $D = b^2 + 12$ всегда строго положителен при любом значении $b$. Следовательно, парабола $y = 3x^2 - bx - 1$ всегда пересекает ось Ox в двух различных точках. Между этими точками график функции находится ниже оси Ox, а значит, неравенство $3x^2 - bx - 1 < 0$ всегда имеет решения.

Ответ: таких значений $b$ не существует.

б) Рассмотрим неравенство $x^2 + bx + 4 < 0$. Левая часть неравенства — это квадратичная функция $y = x^2 + bx + 4$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

Неравенство не будет иметь решений, если парабола $y = x^2 + bx + 4$ будет полностью расположена выше оси Ox или будет касаться ее. Для этого необходимо, чтобы дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $x^2 + bx + 4 = 0$ был меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = b^2 - 16$.

Решим неравенство $D \le 0$: $b^2 - 16 \le 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(b - 4)(b + 4) \le 0$

Решением этого неравенства является промежуток между корнями $-4$ и $4$, включая концы. Таким образом, $-4 \le b \le 4$.

При значениях $b$ из этого промежутка дискриминант будет неположительным, и парабола не будет опускаться ниже оси Ox. Следовательно, неравенство $x^2 + bx + 4 < 0$ не будет иметь решений.

Ответ: при $b \in [-4; 4]$.

1099. При каких значениях m неравенство не имеет решений:

а) $x^2 - 4x + m < 0$;

б) $x^2 + 2x + m < 0$;

в) $x^2 - mx + 4 < 0$;

г) $x^2 + mx + 9 < 0?$

а) $x^2 - 4x + m < 0$

Данное квадратное неравенство не имеет решений, если соответствующая квадратичная функция $y = x^2 - 4x + m$ принимает только неотрицательные значения, то есть $y \ge 0$ для любого $x$.

Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Парабола будет расположена не ниже оси абсцисс, если она либо касается ее в одной точке, либо не имеет с ней общих точек. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ квадратного трехчлена $x^2 - 4x + m$ меньше или равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m$

Решим неравенство $D \le 0$:

$16 - 4m \le 0$

$16 \le 4m$

$m \ge 4$

Ответ: при $m \ge 4$.

б) $x^2 + 2x + m < 0$

Аналогично пункту а), это неравенство не имеет решений, если парабола $y = x^2 + 2x + m$ (ветви вверх) лежит не ниже оси абсцисс. Это произойдет, если дискриминант $D$ соответствующего квадратного трехчлена будет меньше или равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m$

Решим неравенство $D \le 0$:

$4 - 4m \le 0$

$4 \le 4m$

$m \ge 1$

Ответ: при $m \ge 1$.

в) $x^2 - mx + 4 < 0$

Неравенство не будет иметь решений, если парабола $y = x^2 - mx + 4$ (ветви вверх) не опускается ниже оси абсцисс. Для этого дискриминант $D$ квадратного трехчлена должен быть меньше или равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = m^2 - 16$

Решим неравенство $D \le 0$:

$m^2 - 16 \le 0$

$(m - 4)(m + 4) \le 0$

Корнями уравнения $m^2 - 16 = 0$ являются $m_1 = -4$ и $m_2 = 4$. Так как это парабола $y = m^2 - 16$ с ветвями вверх, неравенство $m^2 - 16 \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).

Следовательно, $-4 \le m \le 4$.

Ответ: при $-4 \le m \le 4$.

г) $x^2 + mx + 9 < 0$

Неравенство не имеет решений, если парабола $y = x^2 + mx + 9$ (ветви вверх) целиком находится в верхней полуплоскости или касается оси $x$. Это условие эквивалентно тому, что дискриминант $D$ квадратного трехчлена меньше или равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = m^2 - 36$

Решим неравенство $D \le 0$:

$m^2 - 36 \le 0$

$(m - 6)(m + 6) \le 0$

Корнями уравнения $m^2 - 36 = 0$ являются $m_1 = -6$ и $m_2 = 6$. Неравенство $m^2 - 36 \le 0$ выполняется на отрезке между этими корнями.

Следовательно, $-6 \le m \le 6$.

Ответ: при $-6 \le m \le 6$.

Решите неравенство (1100—1106):

1100. а) $(2x - 3)^2 \geq (5x + 9)^2$;

б) $(4x + 3)^2 \leq (9x - 7)^2$;

в) $(x - 3)(x - 2)^2 \geq 0$;

г) $(x - 5)(x + 1)^2 \geq 0;$

д) $25x^4 \geq 16x^2$;

е) $4x^4 \geq 9x^2$.

а) Решим неравенство $(2x - 3)^2 \ge (5x + 9)^2$. Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства: $(2x - 3)^2 - (5x + 9)^2 \ge 0$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x - 3$ и $b = 5x + 9$: $((2x - 3) - (5x + 9))((2x - 3) + (5x + 9)) \ge 0$. Упростим выражения в каждой скобке: $(2x - 3 - 5x - 9)(2x - 3 + 5x + 9) \ge 0$, что равносильно $(-3x - 12)(7x + 6) \ge 0$. Вынесем общий множитель $-3$ из первой скобки: $-3(x + 4)(7x + 6) \ge 0$. Разделим обе части на $-3$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $(x + 4)(7x + 6) \le 0$. Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 4)(7x + 6) = 0$. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -\frac{6}{7}$. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала. Так как это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх, то значения функции будут меньше или равны нулю между корнями. Следовательно, решением является промежуток $[-4; -\frac{6}{7}]$.
Ответ: $x \in [-4; -\frac{6}{7}]$.

б) Решим неравенство $(4x + 3)^2 \le (9x - 7)^2$. Перенесем все слагаемые в левую часть: $(4x + 3)^2 - (9x - 7)^2 \le 0$. Применим формулу разности квадратов: $((4x + 3) - (9x - 7))((4x + 3) + (9x - 7)) \le 0$. Упростим: $(4x + 3 - 9x + 7)(4x + 3 + 9x - 7) \le 0$, что дает $(-5x + 10)(13x - 4) \le 0$. Вынесем $-5$ из первой скобки: $-5(x - 2)(13x - 4) \le 0$. Разделим обе части на $-5$ и сменим знак неравенства: $(x - 2)(13x - 4) \ge 0$. Найдем корни уравнения $(x - 2)(13x - 4) = 0$: $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{4}{13}$. График функции $y = (x - 2)(13x - 4)$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня. Таким образом, решением является объединение промежутков $(-\infty; \frac{4}{13}] \cup [2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{13}] \cup [2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $(x - 3)(x - 2)^2 \ge 0$. Выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$. Оно равно нулю при $x = 2$. При $x = 2$ исходное неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$, значит, $x = 2$ является решением. Если $x \ne 2$, то $(x - 2)^2 > 0$. В этом случае, чтобы неравенство выполнялось, необходимо, чтобы первый множитель был неотрицателен: $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Объединяя полученные результаты, получаем, что решение неравенства — это точка $x=2$ и промежуток $[3; +\infty)$.
Ответ: $x \in \{2\} \cup [3; +\infty)$.

г) Решим неравенство $(x - 5)(x + 1)^2 \ge 0$. Аналогично предыдущему пункту, множитель $(x + 1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -1$. При $x = -1$ неравенство становится верным ($0 \ge 0$), поэтому $x = -1$ является решением. Если $x \ne -1$, то $(x + 1)^2 > 0$. Тогда для выполнения неравенства требуется, чтобы $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$. Объединяя решения, получаем точку $x=-1$ и промежуток $[5; +\infty)$.
Ответ: $x \in \{-1\} \cup [5; +\infty)$.

д) Решим неравенство $25x^4 \ge 16x^2$. Перенесем все в левую часть: $25x^4 - 16x^2 \ge 0$. Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(25x^2 - 16) \ge 0$. Выражение в скобках является разностью квадратов: $25x^2 - 16 = (5x - 4)(5x + 4)$. Неравенство принимает вид $x^2(5x - 4)(5x + 4) \ge 0$. Множитель $x^2$ всегда неотрицателен. $x=0$ является решением, так как при этом значении неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$. Если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$, и неравенство сводится к $(5x - 4)(5x + 4) \ge 0$. Корни этого квадратного трехчлена: $x_1 = \frac{4}{5}$ и $x_2 = -\frac{4}{5}$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства — $x \in (-\infty; -\frac{4}{5}] \cup [\frac{4}{5}; +\infty)$. Объединяя это решение с ранее найденным $x=0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{5}] \cup \{0\} \cup [\frac{4}{5}; +\infty)$.

е) Решим неравенство $4x^4 \ge 9x^2$. Перенесем все в левую часть: $4x^4 - 9x^2 \ge 0$. Вынесем $x^2$ за скобки: $x^2(4x^2 - 9) \ge 0$. Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов: $x^2(2x - 3)(2x + 3) \ge 0$. Множитель $x^2$ неотрицателен при любых $x$. При $x=0$ неравенство выполняется ($0 \ge 0$), значит $x=0$ — решение. При $x \ne 0$ имеем $x^2 > 0$, поэтому можно разделить на $x^2$, сохранив знак неравенства: $(2x - 3)(2x + 3) \ge 0$. Корни этого выражения: $x_1 = \frac{3}{2}$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$. График $y=(2x - 3)(2x + 3)$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$. Объединяя с решением $x=0$, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup \{0\} \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.