Номер 1095, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1095. a) $x^2 + 2x + 1 > 0$;

в) $x^2 - 4x + 4 \ge 0$;

д) $-x^2 + 10x - 25 > 0$;

б) $x^2 - 6x + 9 < 0$;

г) $x^2 + 4x + 4 \le 0$;

е) $-x^2 + 8x - 16 < 0$.

а) $x^2 + 2x + 1 > 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом суммы, так как $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$(x+1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+1)^2 \ge 0$.
Равенство нулю достигается при $x+1=0$, то есть при $x=-1$.
Строгое неравенство $(x+1)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=-1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

б) $x^2 - 6x + 9 < 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом разности: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
Неравенство принимает вид:
$(x-3)^2 < 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.

в) $x^2 - 4x + 4 \ge 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Неравенство принимает вид:
$(x-2)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это свойство выполняется для любого значения $x$.
Следовательно, решением неравенства является любое действительное число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $x^2 + 4x + 4 \le 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата суммы: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
Неравенство принимает вид:
$(x+2)^2 \le 0$
Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен ($(x+2)^2 \ge 0$), то данное неравенство может выполняться только в одном случае — когда $(x+2)^2 = 0$.
Это равенство достигается при $x+2=0$, то есть при $x=-2$.
Ответ: $x = -2$.

д) $-x^2 + 10x - 25 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 - 10x + 25 < 0$
Левая часть является полным квадратом разности: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.
Неравенство принимает вид:
$(x-5)^2 < 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.

е) $-x^2 + 8x - 16 < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 8x + 16 > 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.
Неравенство принимает вид:
$(x-4)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Равенство нулю достигается при $x-4=0$, то есть при $x=4$.
Строгое неравенство $(x-4)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=4$.
Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.