Номер 1096, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1096. a) $x^2 + 2x + 2 > 0;$

б) $x^2 - 2x + 2 < 0;$

в) $x^2 - 6x + 10 \ge 0;$

г) $x^2 + 6x + 10 \le 0.$

а) $x^2 + 2x + 2 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 + 2x + 2$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $x^2 + 2x + 2 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (Ox). Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше этой оси. Следовательно, значение выражения $x^2 + 2x + 2$ положительно при любом значении $x$.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1$.

Выражение $(x + 1)^2$ всегда больше или равно нулю для любого действительного $x$. Тогда $(x + 1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Так как $1 > 0$, то и выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда больше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $x^2 - 2x + 2 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 2x + 2$. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a > 0$).

Вычислим дискриминант для уравнения $x^2 - 2x + 2 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью Ox. Поскольку ветви направлены вверх, вся парабола лежит в верхней полуплоскости, а значит, значение выражения $x^2 - 2x + 2$ всегда положительно.

Выделим полный квадрат:

$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$.

Поскольку $(x - 1)^2 \ge 0$, то $(x - 1)^2 + 1 \ge 1$. Выражение всегда положительно.

Неравенство $x^2 - 2x + 2 < 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным, что невозможно. Следовательно, у неравенства нет решений.

Ответ: нет решений.

в) $x^2 - 6x + 10 \ge 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 6x + 10$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$).

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 6x + 10 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Дискриминант отрицательный, значит, парабола не пересекает ось Ox и целиком расположена над ней. Таким образом, выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно.

Выделим полный квадрат:

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1$.

Так как $(x - 3)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x - 3)^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение всегда положительно, а значит, всегда больше или равно нулю.

Неравенство $x^2 - 6x + 10 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $x^2 + 6x + 10 \le 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 6x + 10$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$).

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 + 6x + 10 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Дискриминант отрицательный, значит, парабола не пересекает ось Ox и целиком расположена над ней. Таким образом, выражение $x^2 + 6x + 10$ всегда положительно.

Выделим полный квадрат:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x + 3)^2 + 1$.

Так как $(x + 3)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x + 3)^2 + 1 \ge 1$. Выражение всегда положительно.

Неравенство $x^2 + 6x + 10 \le 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным или равным нулю, что невозможно. Следовательно, у неравенства нет решений.

Ответ: нет решений.