Номер 1090, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1090. Найдите значение x, для которого соответствующее значение функции y является наименьшим, если:

a) $y = (x + 1)^2 - 3$

б) $y = (x - 2)^2 + 5$

а) $y = (x + 1)^2 - 3$

Данная функция является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $(x+1)^2$ равен 1 (положительное число). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Чтобы найти значение $x$, при котором функция $y$ будет наименьшей, нужно найти условие, при котором слагаемое $(x + 1)^2$ принимает свое наименьшее значение. Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 1)^2 \ge 0$, его наименьшее значение равно 0.

Это наименьшее значение достигается тогда, когда основание степени равно нулю:

$x + 1 = 0$

Решая это уравнение, находим $x$:

$x = -1$

При этом значении $x$ функция $y$ принимает свое наименьшее значение, равное $y_{наим} = (-1+1)^2 - 3 = 0^2 - 3 = -3$.

Ответ: $x = -1$.

б) $y = (x - 2)^2 + 5$

Эта функция также является квадратичной с параболой, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение функции достигается в ее вершине.

Значение функции $y$ будет наименьшим, когда слагаемое $(x - 2)^2$ будет наименьшим. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$, его наименьшее значение равно 0.

Это значение достигается, когда основание степени равно нулю:

$x - 2 = 0$

Решая уравнение, получаем:

$x = 2$

При этом значении $x$ функция $y$ принимает свое наименьшее значение, равное $y_{наим} = (2-2)^2 + 5 = 0^2 + 5 = 5$.

Ответ: $x = 2$.