Номер 1086, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1086. Укажите на координатной оси все решения неравенства:

a) $|x - 0,5| < 3;$

б) $|x + 2,5| < 1;$

в) $|2x - 1| < 2.$

а) $|x - 0,5| < 3$

Неравенство с модулем вида $|A| < B$, где $B>0$, равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

Применив это свойство, получаем:

$-3 < x - 0,5 < 3$

Чтобы найти $x$, прибавим $0,5$ ко всем частям неравенства:

$-3 + 0,5 < x - 0,5 + 0,5 < 3 + 0,5$

$-2,5 < x < 3,5$

Решением является интервал от $-2,5$ до $3,5$. На координатной оси это будет открытый промежуток, ограниченный точками $-2,5$ и $3,5$. Сами точки (концы интервала) не включаются в решение, поэтому на оси они изображаются выколотыми (пустыми) точками.

Ответ: $x \in (-2,5; 3,5)$.

б) $|x + 2,5| < 1$

Данное неравенство также решается с помощью перехода к двойному неравенству:

$-1 < x + 2,5 < 1$

Вычтем $2,5$ из всех частей неравенства, чтобы выделить $x$:

$-1 - 2,5 < x + 2,5 - 2,5 < 1 - 2,5$

$-3,5 < x < -1,5$

На координатной оси решением является интервал между точками $-3,5$ и $-1,5$. Концевые точки не включены в решение, так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (-3,5; -1,5)$.

в) $|2x - 1| < 2$

Снова используем свойство модуля. Переходим к двойному неравенству:

$-2 < 2x - 1 < 2$

Сначала прибавим $1$ ко всем частям неравенства:

$-2 + 1 < 2x - 1 + 1 < 2 + 1$

$-1 < 2x < 3$

Теперь разделим все части неравенства на $2$:

$\frac{-1}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{3}{2}$

$-0,5 < x < 1,5$

На координатной оси это решение представляет собой интервал от $-0,5$ до $1,5$, не включая концы интервала, которые отмечаются выколотыми точками.

Ответ: $x \in (-0,5; 1,5)$.