Номер 1084, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1084. Докажите, что если $|x| < a$, то $-a < x < a$.

Для доказательства утверждения, что из неравенства $|x| < a$ следует двойное неравенство $-a < x < a$, необходимо рассмотреть два возможных случая, которые вытекают из определения модуля числа.

По определению, модуль (абсолютная величина) числа $x$ равен:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Заметим, что по определению модуль числа всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, неравенство $|x| < a$ может иметь решение только в том случае, если $a$ — положительное число ($a > 0$). Если $a \le 0$, то неравенство $|x| < a$ не имеет решений, и доказываемое утверждение истинно (из ложного утверждения может следовать что угодно). Поэтому далее мы будем рассматривать случай, когда $a > 0$.

Разобьем доказательство на два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае, по определению модуля, $|x| = x$. Тогда исходное неравенство $|x| < a$ можно переписать в виде:

$x < a$

Учитывая условие этого случая ($x \ge 0$), получаем, что $x$ должен удовлетворять двойному неравенству $0 \le x < a$.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае, по определению модуля, $|x| = -x$. Тогда исходное неравенство $|x| < a$ можно переписать в виде:

$-x < a$

Чтобы выразить $x$, умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -a$

Учитывая условие этого случая ($x < 0$), получаем, что $x$ должен удовлетворять двойному неравенству $-a < x < 0$.

Заключение

Теперь объединим результаты, полученные в обоих случаях. Чтобы неравенство $|x| < a$ было верным, переменная $x$ должна удовлетворять либо условию из первого случая ($0 \le x < a$), либо условию из второго случая ($-a < x < 0$).

Совокупность этих двух условий ($(-a < x < 0)$ или $(0 \le x < a)$) покрывает весь интервал от $-a$ до $a$, не включая концы. Это можно записать в виде одного двойного неравенства:

$-a < x < a$

Таким образом, мы доказали, что из $|x| < a$ следует $-a < x < a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если $|x| < a$ (при $a > 0$), то $x$ находится в интервале $(-a, a)$, что равносильно записи $-a < x < a$.