Номер 1087, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1087. Решите неравенство:

a) $|x - 1| < 1;$

б) $|x + 1| < 2;$

в) $|2x + 1| < 4;$

г) $|3x - 2| < 5.$

Например: $|2x - 1| < 3.$

$-3 < 2x - 1 < 3, -2 < 2x < 4$, так как $2 > 0$, то $-1 < x < 2.

Ответ: $(-1; 2).$

а)

Для решения неравенства $|x - 1| < 1$ воспользуемся свойством модуля, согласно которому неравенство вида $|A| < B$ (при $B > 0$) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

Перепишем исходное неравенство в виде двойного неравенства:

$-1 < x - 1 < 1$

Прибавим $1$ ко всем трем частям неравенства, чтобы выразить $x$:

$-1 + 1 < x - 1 + 1 < 1 + 1$

Упростив, получаем решение:

$0 < x < 2$

Ответ: $(0; 2)$.

б)

Решим неравенство $|x + 1| < 2$.

Переходим от неравенства с модулем к двойному неравенству:

$-2 < x + 1 < 2$

Вычтем $1$ из всех частей неравенства:

$-2 - 1 < x + 1 - 1 < 2 - 1$

В результате получаем:

$-3 < x < 1$

Ответ: $(-3; 1)$.

в)

Решим неравенство $|2x + 1| < 4$.

Перепишем его в виде двойного неравенства:

$-4 < 2x + 1 < 4$

Сначала вычтем $1$ из всех частей:

$-4 - 1 < 2x + 1 - 1 < 4 - 1$

$-5 < 2x < 3$

Теперь разделим все части неравенства на $2$ (знаки неравенства сохраняются, так как $2 > 0$):

$-\frac{5}{2} < x < \frac{3}{2}$

Ответ: $(-\frac{5}{2}; \frac{3}{2})$.

г)

Решим неравенство $|3x - 2| < 5$.

Перепишем его в виде двойного неравенства:

$-5 < 3x - 2 < 5$

Сначала прибавим $2$ ко всем частям:

$-5 + 2 < 3x - 2 + 2 < 5 + 2$

$-3 < 3x < 7$

Теперь разделим все части неравенства на $3$ (знаки неравенства сохраняются, так как $3 > 0$):

$-\frac{3}{3} < x < \frac{7}{3}$

Упрощаем левую часть и получаем окончательное решение:

$-1 < x < \frac{7}{3}$

Ответ: $(-1; \frac{7}{3})$.