Страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1078. В какую погоду самолёт, летящий из Москвы в Санкт-Петербург и обратно, выполнит быстрее рейс: в безветренную или при ветре, дующем с постоянной скоростью от Москвы в направлении Санкт-Петербурга?

Для решения этой задачи необходимо сравнить общее время, затраченное на полет туда и обратно, в двух различных погодных условиях: в безветренную погоду и при наличии постоянного ветра.

Введем следующие обозначения: $S$ — расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга; $v_с$ — собственная скорость самолета (скорость относительно неподвижного воздуха), она постоянна; $v_в$ — скорость ветра.

Случай 1: Безветренная погода

При отсутствии ветра ($v_в = 0$) скорость самолета относительно земли на всем пути равна его собственной скорости $v_с$.

Время полета из Москвы в Санкт-Петербург: $t_1 = \frac{S}{v_с}$.

Время полета из Санкт-Петербурга в Москву: $t_2 = \frac{S}{v_с}$.

Общее время полета $T_{безв}$ в этом случае будет суммой времени полета туда и обратно:

$T_{безв} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v_с} + \frac{S}{v_с} = \frac{2S}{v_с}$

Случай 2: Полет с ветром

Ветер дует с постоянной скоростью от Москвы в направлении Санкт-Петербурга. Это значит, что на пути в Санкт-Петербург ветер будет попутным, а на обратном пути — встречным.

При полете из Москвы в Санкт-Петербург скорость самолета относительно земли будет суммой его собственной скорости и скорости ветра: $v_{туда} = v_с + v_в$. Время полета составит:

$t_{туда} = \frac{S}{v_с + v_в}$

При полете обратно, из Санкт-Петербурга в Москву, ветер будет встречным, и скорость самолета относительно земли будет равна разности его собственной скорости и скорости ветра: $v_{обратно} = v_с - v_в$. (Мы должны предположить, что $v_с > v_в$, иначе самолет не сможет лететь против ветра). Время полета составит:

$t_{обратно} = \frac{S}{v_с - v_в}$

Общее время полета $T_{ветр}$ при наличии ветра будет суммой времени полета туда и обратно:

$T_{ветр} = t_{туда} + t_{обратно} = \frac{S}{v_с + v_в} + \frac{S}{v_с - v_в}$

Чтобы сложить эти две дроби, приведем их к общему знаменателю:

$T_{ветр} = \frac{S(v_с - v_в) + S(v_с + v_в)}{(v_с + v_в)(v_с - v_в)} = \frac{S v_с - S v_в + S v_с + S v_в}{v_с^2 - v_в^2} = \frac{2S v_с}{v_с^2 - v_в^2}$

Сравнение времени полета

Теперь сравним выражения для общего времени полета в обоих случаях:

$T_{безв} = \frac{2S}{v_с}$ и $T_{ветр} = \frac{2S v_с}{v_с^2 - v_в^2}$

Для удобства сравнения преобразуем выражение для $T_{безв}$, умножив его числитель и знаменатель на $v_с$:

$T_{безв} = \frac{2S \cdot v_с}{v_с \cdot v_с} = \frac{2S v_с}{v_с^2}$

Теперь мы сравниваем две дроби с одинаковыми числителями ($2S v_с$): $T_{безв} = \frac{2S v_с}{v_с^2}$ и $T_{ветр} = \frac{2S v_с}{v_с^2 - v_в^2}$.

Поскольку ветер существует, его скорость $v_в > 0$, и, следовательно, $v_в^2 > 0$. Это означает, что знаменатель в выражении для $T_{ветр}$ меньше, чем знаменатель в выражении для $T_{безв}$:

$v_с^2 - v_в^2 < v_с^2$

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно:

$T_{ветр} > T_{безв}$

Таким образом, общее время полета при наличии ветра всегда больше, чем в безветренную погоду. Выигрыш во времени при полете по ветру оказывается меньше, чем проигрыш во времени на обратном пути против ветра.

Ответ: Самолет выполнит рейс быстрее в безветренную погоду.

1079. Доказываем. Докажите, что сумма квадратов двух различных положительных чисел больше удвоенного произведения этих чисел.

$a^2 + b^2 > 2ab$

Доказываем.

Пусть $a$ и $b$ — два различных положительных числа. Согласно условию задачи: $a > 0$, $b > 0$ и $a \neq b$.

Требуется доказать, что сумма их квадратов больше удвоенного произведения этих чисел. Запишем это в виде неравенства: $a^2 + b^2 > 2ab$

Для доказательства выполним равносильные преобразования. Перенесём член $2ab$ из правой части неравенства в левую с противоположным знаком: $a^2 - 2ab + b^2 > 0$

Левая часть полученного неравенства представляет собой формулу сокращенного умножения — квадрат разности двух чисел: $(a - b)^2 > 0$

Рассмотрим полученное неравенство. Известно, что квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Равенство $(a - b)^2 = 0$ возможно только в том случае, если $a - b = 0$, то есть $a = b$.

Однако по условию задачи числа $a$ и $b$ — различные, что означает $a \neq b$. Следовательно, разность $a - b$ не равна нулю ($a - b \neq 0$). Поэтому квадрат этой разности $(a - b)^2$ будет всегда строго положительным числом.

Таким образом, неравенство $(a - b)^2 > 0$ истинно для любых различных чисел $a$ и $b$. Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^2 + b^2 > 2ab$ также является истинным. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

1080. Какое наименьшее значение может принять выражение $a^2 + b^2$, если $a > 0, b > 0, a + b = 2$?

Для нахождения наименьшего значения выражения $a^2 + b^2$ при заданных условиях можно использовать несколько способов.

Способ 1. Преобразование выражения и анализ квадратичной функции

Из условия $a + b = 2$ выразим одну переменную через другую, например, $b$ через $a$: $b = 2 - a$.

Так как по условию $b > 0$, то $2 - a > 0$, откуда следует, что $a < 2$. Также дано, что $a > 0$. Таким образом, значения $a$ лежат в интервале $(0; 2)$.

Подставим выражение для $b$ в исходное выражение $a^2 + b^2$, которое мы хотим минимизировать. Обозначим его как $S$:

$S(a) = a^2 + (2 - a)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$S(a) = a^2 + (4 - 4a + a^2) = 2a^2 - 4a + 4$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = 2a^2 - 4a + 4$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($2 > 0$). Наименьшее значение такой функции достигается в ее вершине.

Координата вершины параболы по оси абсцисс ($a$) вычисляется по формуле $a_0 = -\frac{k}{2m}$, где $m$ — коэффициент при $a^2$, а $k$ — коэффициент при $a$.

$a_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Полученное значение $a = 1$ принадлежит интервалу $(0; 2)$, поэтому оно нам подходит. Найдем соответствующее значение $b$:

$b = 2 - a = 2 - 1 = 1$

Значения $a=1$ и $b=1$ удовлетворяют всем условиям задачи ($a>0$, $b>0$, $a+b=2$).

Теперь вычислим наименьшее значение выражения, подставив найденные значения $a$ и $b$:

$S_{min} = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Способ 2. Использование неравенства о средних

Воспользуемся неравенством между средним квадратичным и средним арифметическим для двух положительных чисел $a$ и $b$. Оно гласит:

$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{a+b}{2}$

По условию задачи $a + b = 2$. Подставим это значение в неравенство:

$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{2}{2}$

$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge 1$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge 1^2$

$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge 1$

Умножим обе части на 2:

$a^2 + b^2 \ge 2$

Из этого неравенства следует, что наименьшее возможное значение выражения $a^2 + b^2$ равно 2. Равенство в неравенстве о средних достигается тогда и только тогда, когда числа равны, то есть $a = b$.

Из системы уравнений:

$\begin{cases} a+b=2 \\ a=b \end{cases}$

находим, что $a = 1$ и $b = 1$. Эти значения удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$.

Таким образом, наименьшее значение выражения $a^2 + b^2$ равно 2 и достигается при $a = 1, b = 1$.

Ответ: 2

1081. Если система двух линейных неравенств не имеет решений, то следует ли из этого, что каждое неравенство системы не выполняется ни при каких значениях неизвестного?

Нет, из того, что система двух линейных неравенств не имеет решений, не следует, что каждое неравенство системы не выполняется ни при каких значениях неизвестного.

Решение системы неравенств — это множество значений неизвестного, при которых верны все неравенства системы одновременно. Отсутствие решений у системы означает, что множества решений отдельных неравенств не имеют общих элементов, то есть их пересечение является пустым множеством. Однако это не означает, что сами эти множества пусты. Каждое неравенство по отдельности может иметь решения.

Рассмотрим конкретный контрпример. Пусть дана система двух линейных неравенств с одной переменной $x$:

$ \begin{cases} x > 5 \\ x < 2 \end{cases} $

Проанализируем каждое неравенство отдельно:

1. Решением первого неравенства $x > 5$ является любое число, которое больше 5. Например, $x=6$ или $x=10$. Множество решений этого неравенства — интервал $(5; +\infty)$. Очевидно, это неравенство имеет решения.

2. Решением второго неравенства $x < 2$ является любое число, которое меньше 2. Например, $x=1$ или $x=0$. Множество решений этого неравенства — интервал $(-\infty; 2)$. Это неравенство также имеет решения.

Как видно, каждое из неравенств в отдельности имеет бесконечное множество решений. Однако, если мы рассмотрим систему, нам нужно найти такие значения $x$, которые удовлетворяли бы обоим условиям одновременно, то есть были бы и больше 5, и меньше 2. Таких чисел не существует. Пересечение множеств решений $(5; +\infty) \cap (-\infty; 2)$ является пустым множеством ($\emptyset$). Следовательно, данная система не имеет решений.

Этот пример наглядно демонстрирует, что система неравенств может не иметь решений, в то время как каждое из составляющих ее неравенств имеет собственное множество решений.

Ответ: Нет, не следует. Система неравенств может не иметь решений из-за того, что множества решений отдельных неравенств не пересекаются, при этом каждое из этих неравенств по отдельности может иметь решения.

1082. Одна сторона треугольника равна $6 \text{ м}$, а сумма двух других $14 \text{ м}$. Определите возможные длины сторон треугольника, если они выражаются натуральными числами.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию задачи, одна из сторон равна 6 м. Пусть $a = 6$ м.

Сумма двух других сторон составляет 14 м, то есть $b + c = 14$ м.

Также дано, что длины всех сторон являются натуральными числами, то есть $a, b, c \in \mathbb{N}$.

Для того чтобы треугольник с такими сторонами мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Запишем систему неравенств:
$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$

Подставим известные значения в эти неравенства.

1. Проверим неравенство $b + c > a$:
Подставляем $b+c=14$ и $a=6$:
$14 > 6$. Это неравенство всегда выполняется.

2. Проверим неравенство $a + b > c$:
Подставляем $a = 6$: $6 + b > c$.
Из равенства $b + c = 14$ выразим $c$ как $c = 14 - b$.
Подставим это в неравенство: $6 + b > 14 - b$.
Теперь решим это неравенство относительно $b$:
$2b > 14 - 6$
$2b > 8$
$b > 4$

3. Проверим неравенство $a + c > b$:
Подставляем $a = 6$: $6 + c > b$.
Снова используем выражение $c = 14 - b$:
$6 + (14 - b) > b$
$20 - b > b$
$20 > 2b$
$10 > b$, что то же самое, что и $b < 10$.

Итак, мы получили, что длина стороны $b$ должна удовлетворять двойному неравенству $4 < b < 10$.

Поскольку $b$ является натуральным числом, его возможные значения: 5, 6, 7, 8, 9.

Для каждого возможного значения $b$ найдем соответствующее значение $c$ из уравнения $c = 14 - b$:
- Если $b = 5$ м, то $c = 14 - 5 = 9$ м. Получаем треугольник со сторонами (6 м, 5 м, 9 м).
- Если $b = 6$ м, то $c = 14 - 6 = 8$ м. Получаем треугольник со сторонами (6 м, 6 м, 8 м).
- Если $b = 7$ м, то $c = 14 - 7 = 7$ м. Получаем треугольник со сторонами (6 м, 7 м, 7 м).
- Если $b = 8$ м, то $c = 14 - 8 = 6$ м. Получаем треугольник со сторонами (6 м, 8 м, 6 м). Этот набор сторон совпадает с одним из уже найденных.
- Если $b = 9$ м, то $c = 14 - 9 = 5$ м. Получаем треугольник со сторонами (6 м, 9 м, 5 м). Этот набор сторон также совпадает с одним из уже найденных.

Таким образом, существует три уникальных набора длин сторон, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: Возможные наборы длин сторон треугольника: (6 м, 5 м, 9 м), (6 м, 6 м, 8 м), (6 м, 7 м, 7 м).

Доказываем (1083–1084).

1083. Докажите, что полупериметр треугольника больше каждой из сторон этого треугольника.

1083.

Для доказательства данного утверждения введем обозначения. Пусть стороны произвольного треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
Полупериметр $p$ — это половина периметра: $p = \frac{a + b + c}{2}$.

Нам необходимо доказать, что полупериметр больше каждой из сторон треугольника. Это означает, что нужно доказать справедливость трех неравенств:
$p > a$
$p > b$
$p > c$

Основой для доказательства служит неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Для нашего треугольника это записывается в виде системы из трех неравенств:
$a + b > c$
$b + c > a$
$a + c > b$

Теперь докажем каждое из требуемых неравенств по очереди, используя алгебраические преобразования.

1. Докажем, что $p > a$.
Подставим в это неравенство выражение для полупериметра $p$:
$\frac{a + b + c}{2} > a$
Умножим обе части неравенства на 2 (так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется):
$a + b + c > 2a$
Перенесем $a$ из левой части в правую (или вычтем $a$ из обеих частей):
$b + c > 2a - a$
$b + c > a$
Полученное неравенство $b + c > a$ является верным согласно неравенству треугольника. Поскольку мы использовали равносильные преобразования, исходное неравенство $p > a$ также является верным.

2. Докажем, что $p > b$.
Проведем аналогичные действия:
$\frac{a + b + c}{2} > b$
$a + b + c > 2b$
$a + c > 2b - b$
$a + c > b$
Это неравенство также истинно в силу неравенства треугольника, а значит, верно и $p > b$.

3. Докажем, что $p > c$.
И для третьей стороны:
$\frac{a + b + c}{2} > c$
$a + b + c > 2c$
$a + b > 2c - c$
$a + b > c$
Это последнее из трех неравенств треугольника, и оно также является верным. Следовательно, $p > c$ тоже верно.

Таким образом, мы доказали, что полупериметр треугольника строго больше каждой из его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1084. Докажите, что если $|x| < a$, то $-a < x < a$.

Для доказательства утверждения, что из неравенства $|x| < a$ следует двойное неравенство $-a < x < a$, необходимо рассмотреть два возможных случая, которые вытекают из определения модуля числа.

По определению, модуль (абсолютная величина) числа $x$ равен:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Заметим, что по определению модуль числа всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, неравенство $|x| < a$ может иметь решение только в том случае, если $a$ — положительное число ($a > 0$). Если $a \le 0$, то неравенство $|x| < a$ не имеет решений, и доказываемое утверждение истинно (из ложного утверждения может следовать что угодно). Поэтому далее мы будем рассматривать случай, когда $a > 0$.

Разобьем доказательство на два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае, по определению модуля, $|x| = x$. Тогда исходное неравенство $|x| < a$ можно переписать в виде:

$x < a$

Учитывая условие этого случая ($x \ge 0$), получаем, что $x$ должен удовлетворять двойному неравенству $0 \le x < a$.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае, по определению модуля, $|x| = -x$. Тогда исходное неравенство $|x| < a$ можно переписать в виде:

$-x < a$

Чтобы выразить $x$, умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -a$

Учитывая условие этого случая ($x < 0$), получаем, что $x$ должен удовлетворять двойному неравенству $-a < x < 0$.

Заключение

Теперь объединим результаты, полученные в обоих случаях. Чтобы неравенство $|x| < a$ было верным, переменная $x$ должна удовлетворять либо условию из первого случая ($0 \le x < a$), либо условию из второго случая ($-a < x < 0$).

Совокупность этих двух условий ($(-a < x < 0)$ или $(0 \le x < a)$) покрывает весь интервал от $-a$ до $a$, не включая концы. Это можно записать в виде одного двойного неравенства:

$-a < x < a$

Таким образом, мы доказали, что из $|x| < a$ следует $-a < x < a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если $|x| < a$ (при $a > 0$), то $x$ находится в интервале $(-a, a)$, что равносильно записи $-a < x < a$.

1085. Запишите неравенство в виде двойного неравенства:

а) $|x - 0,5| < 3;$

б) $|x - 3| < 1;$

в) $|x + 2| < 5.$

а)

Чтобы записать неравенство $|x - 0,5| < 3$ в виде двойного неравенства, воспользуемся свойством модуля: неравенство вида $|a| < b$ (где $b > 0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

В нашем случае $a = x - 0,5$ и $b = 3$. Подставив эти значения, получаем:

$-3 < x - 0,5 < 3$

Это уже является двойным неравенством. Для нахождения интервала для $x$, прибавим 0,5 ко всем трем частям неравенства:

$-3 + 0,5 < x - 0,5 + 0,5 < 3 + 0,5$

$-2,5 < x < 3,5$

Ответ: $-2,5 < x < 3,5$.

б)

Рассмотрим неравенство $|x - 3| < 1$.

Применяем то же свойство модуля. Здесь $a = x - 3$ и $b = 1$.

Записываем двойное неравенство:

$-1 < x - 3 < 1$

Чтобы найти $x$, прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 < x - 3 + 3 < 1 + 3$

$2 < x < 4$

Ответ: $2 < x < 4$.

в)

Рассмотрим неравенство $|x + 2| < 5$.

Здесь $a = x + 2$ и $b = 5$.

Записываем двойное неравенство, используя свойство модуля:

$-5 < x + 2 < 5$

Чтобы найти $x$, вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-5 - 2 < x + 2 - 2 < 5 - 2$

$-7 < x < 3$

Ответ: $-7 < x < 3$.

1086. Укажите на координатной оси все решения неравенства:

a) $|x - 0,5| < 3;$

б) $|x + 2,5| < 1;$

в) $|2x - 1| < 2.$

а) $|x - 0,5| < 3$

Неравенство с модулем вида $|A| < B$, где $B>0$, равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

Применив это свойство, получаем:

$-3 < x - 0,5 < 3$

Чтобы найти $x$, прибавим $0,5$ ко всем частям неравенства:

$-3 + 0,5 < x - 0,5 + 0,5 < 3 + 0,5$

$-2,5 < x < 3,5$

Решением является интервал от $-2,5$ до $3,5$. На координатной оси это будет открытый промежуток, ограниченный точками $-2,5$ и $3,5$. Сами точки (концы интервала) не включаются в решение, поэтому на оси они изображаются выколотыми (пустыми) точками.

Ответ: $x \in (-2,5; 3,5)$.

б) $|x + 2,5| < 1$

Данное неравенство также решается с помощью перехода к двойному неравенству:

$-1 < x + 2,5 < 1$

Вычтем $2,5$ из всех частей неравенства, чтобы выделить $x$:

$-1 - 2,5 < x + 2,5 - 2,5 < 1 - 2,5$

$-3,5 < x < -1,5$

На координатной оси решением является интервал между точками $-3,5$ и $-1,5$. Концевые точки не включены в решение, так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (-3,5; -1,5)$.

в) $|2x - 1| < 2$

Снова используем свойство модуля. Переходим к двойному неравенству:

$-2 < 2x - 1 < 2$

Сначала прибавим $1$ ко всем частям неравенства:

$-2 + 1 < 2x - 1 + 1 < 2 + 1$

$-1 < 2x < 3$

Теперь разделим все части неравенства на $2$:

$\frac{-1}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{3}{2}$

$-0,5 < x < 1,5$

На координатной оси это решение представляет собой интервал от $-0,5$ до $1,5$, не включая концы интервала, которые отмечаются выколотыми точками.

Ответ: $x \in (-0,5; 1,5)$.

1087. Решите неравенство:

a) $|x - 1| < 1;$

б) $|x + 1| < 2;$

в) $|2x + 1| < 4;$

г) $|3x - 2| < 5.$

Например: $|2x - 1| < 3.$

$-3 < 2x - 1 < 3, -2 < 2x < 4$, так как $2 > 0$, то $-1 < x < 2.

Ответ: $(-1; 2).$

а)

Для решения неравенства $|x - 1| < 1$ воспользуемся свойством модуля, согласно которому неравенство вида $|A| < B$ (при $B > 0$) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

Перепишем исходное неравенство в виде двойного неравенства:

$-1 < x - 1 < 1$

Прибавим $1$ ко всем трем частям неравенства, чтобы выразить $x$:

$-1 + 1 < x - 1 + 1 < 1 + 1$

Упростив, получаем решение:

$0 < x < 2$

Ответ: $(0; 2)$.

б)

Решим неравенство $|x + 1| < 2$.

Переходим от неравенства с модулем к двойному неравенству:

$-2 < x + 1 < 2$

Вычтем $1$ из всех частей неравенства:

$-2 - 1 < x + 1 - 1 < 2 - 1$

В результате получаем:

$-3 < x < 1$

Ответ: $(-3; 1)$.

в)

Решим неравенство $|2x + 1| < 4$.

Перепишем его в виде двойного неравенства:

$-4 < 2x + 1 < 4$

Сначала вычтем $1$ из всех частей:

$-4 - 1 < 2x + 1 - 1 < 4 - 1$

$-5 < 2x < 3$

Теперь разделим все части неравенства на $2$ (знаки неравенства сохраняются, так как $2 > 0$):

$-\frac{5}{2} < x < \frac{3}{2}$

Ответ: $(-\frac{5}{2}; \frac{3}{2})$.

г)

Решим неравенство $|3x - 2| < 5$.

Перепишем его в виде двойного неравенства:

$-5 < 3x - 2 < 5$

Сначала прибавим $2$ ко всем частям:

$-5 + 2 < 3x - 2 + 2 < 5 + 2$

$-3 < 3x < 7$

Теперь разделим все части неравенства на $3$ (знаки неравенства сохраняются, так как $3 > 0$):

$-\frac{3}{3} < x < \frac{7}{3}$

Упрощаем левую часть и получаем окончательное решение:

$-1 < x < \frac{7}{3}$

Ответ: $(-1; \frac{7}{3})$.

1088. Решите неравенство:

а) $|x - 1| > 1;$

б) $|x + 1| > 2;$

в) $|1 + 2x| \ge 3;$

г) $|7x - 3| > 1.$

а) $|x - 1| > 1$

Неравенство вида $|A| > B$ (где $B > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

Применим это правило к нашему неравенству:

$x - 1 > 1$ или $x - 1 < -1$

Решим первое неравенство:

$x > 1 + 1$

$x > 2$

Решим второе неравенство:

$x < -1 + 1$

$x < 0$

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

б) $|x + 1| > 2$

Данное неравенство также равносильно совокупности двух неравенств:

$x + 1 > 2$ или $x + 1 < -2$

Решим первое неравенство:

$x > 2 - 1$

$x > 1$

Решим второе неравенство:

$x < -2 - 1$

$x < -3$

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$

в) $|1 + 2x| \ge 3$

Неравенство вида $|A| \ge B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.

Применим это правило:

$1 + 2x \ge 3$ или $1 + 2x \le -3$

Решим первое неравенство:

$2x \ge 3 - 1$

$2x \ge 2$

$x \ge 1$

Решим второе неравенство:

$2x \le -3 - 1$

$2x \le -4$

$x \le -2$

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$

г) $|7x - 3| > 1$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$7x - 3 > 1$ или $7x - 3 < -1$

Решим первое неравенство:

$7x > 1 + 3$

$7x > 4$

$x > \frac{4}{7}$

Решим второе неравенство:

$7x < -1 + 3$

$7x < 2$

$x < \frac{2}{7}$

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{7}) \cup (\frac{4}{7}; +\infty)$