Страница 290 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1154. Сумма трёх чисел, образующих конечную арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна $ \frac{14}{9} $. Найдите эти числа.

Обозначим три числа, образующие конечную арифметическую прогрессию, как $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Удобно представить эти числа через средний член $a$ и разность прогрессии $d$. Тогда последовательность чисел будет выглядеть так: $a - d$, $a$, $a + d$.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 2. Составим первое уравнение: $(a - d) + a + (a + d) = 2$ Приведя подобные слагаемые, получаем: $3a = 2$ Отсюда находим значение среднего члена прогрессии: $a = \frac{2}{3}$

Также по условию, сумма квадратов этих же чисел равна $\frac{14}{9}$. Составим второе уравнение: $(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = \frac{14}{9}$ Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = \frac{14}{9}$ Приведем подобные члены: $3a^2 + 2d^2 = \frac{14}{9}$

Теперь подставим найденное значение $a = \frac{2}{3}$ в это уравнение, чтобы найти разность прогрессии $d$: $3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2d^2 = \frac{14}{9}$ $3\left(\frac{4}{9}\right) + 2d^2 = \frac{14}{9}$ $\frac{12}{9} + 2d^2 = \frac{14}{9}$ Выразим $2d^2$: $2d^2 = \frac{14}{9} - \frac{12}{9}$ $2d^2 = \frac{2}{9}$ $d^2 = \frac{1}{9}$ Отсюда находим два возможных значения для $d$: $d = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$

Рассмотрим оба случая.

1. Если $d = \frac{1}{3}$, то искомые числа равны: $a_1 = a - d = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ $a_2 = a = \frac{2}{3}$ $a_3 = a + d = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ Получаем числа: $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1$.

2. Если $d = -\frac{1}{3}$, то искомые числа равны: $a_1 = a - d = \frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ $a_2 = a = \frac{2}{3}$ $a_3 = a + d = \frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ Получаем числа: $1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}$.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор чисел.

Ответ: $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1$.

1155. a) Сумма второго и девятого членов арифметической прогрессии равна 10. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

б) Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 16. Найдите сумму первых одиннадцати членов этой прогрессии.

а)

Пусть $a_n$ — заданная арифметическая прогрессия. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, а $a_n$ — n-й член прогрессии.

Нам нужно найти сумму первых десяти членов, то есть $S_{10}$: $S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10$.

Для арифметической прогрессии справедливо свойство: сумма членов, равноотстоящих от концов, постоянна. То есть, если $k + l = m + p$, то $a_k + a_l = a_m + a_p$. В нашем случае для членов $a_1, a_2, a_9, a_{10}$ имеем $1 + 10 = 11$ и $2 + 9 = 11$. Следовательно, $a_1 + a_{10} = a_2 + a_9$.

По условию задачи, сумма второго и девятого членов равна 10: $a_2 + a_9 = 10$. Это означает, что $a_1 + a_{10}$ также равно 10.

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для $S_{10}$: $S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{10}{2} \cdot 10 = 5 \cdot 10 = 50$.

Ответ: 50

б)

Аналогично пункту а), используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Нам нужно найти сумму первых одиннадцати членов, то есть $S_{11}$: $S_{11} = \frac{a_1 + a_{11}}{2} \cdot 11$.

Используем свойство равноотстоящих членов. Для членов $a_1, a_3, a_9, a_{11}$ имеем $1 + 11 = 12$ и $3 + 9 = 12$. Следовательно, $a_1 + a_{11} = a_3 + a_9$.

По условию задачи, сумма третьего и девятого членов равна 16: $a_3 + a_9 = 16$. Это означает, что $a_1 + a_{11}$ также равно 16.

Подставим найденное значение в формулу для $S_{11}$: $S_{11} = \frac{a_1 + a_{11}}{2} \cdot 11 = \frac{16}{2} \cdot 11 = 8 \cdot 11 = 88$.

Ответ: 88

1156. В конечной геометрической прогрессии чётное число членов. Найдите её знаменатель, если:

a) сумма всех членов прогрессии в 4 раза больше суммы её членов, стоящих на нечётных местах;

b) сумма всех членов прогрессии, стоящих на чётных местах, в 2 раза больше суммы её членов, стоящих на нечётных местах.

а)

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \ldots, b_{2n}$ с чётным числом членов $2n$, первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

Сумма всех членов прогрессии $S_{2n}$ равна сумме членов, стоящих на нечётных местах ($S_{нечёт}$), и членов, стоящих на чётных местах ($S_{чёт}$):

$S_{2n} = S_{нечёт} + S_{чёт}$

Выпишем суммы для членов на нечётных и чётных местах:

$S_{нечёт} = b_1 + b_3 + \dots + b_{2n-1} = b_1 + b_1q^2 + \dots + b_1q^{2n-2}$

$S_{чёт} = b_2 + b_4 + \dots + b_{2n} = b_1q + b_1q^3 + \dots + b_1q^{2n-1}$

Заметим, что каждый член, стоящий на чётном месте, можно получить умножением предыдущего члена (стоящего на нечётном месте) на знаменатель $q$. Следовательно, и вся сумма членов на чётных местах в $q$ раз больше суммы членов на нечётных местах:

$S_{чёт} = q \cdot (b_1 + b_1q^2 + \dots + b_1q^{2n-2}) = q \cdot S_{нечёт}$

Теперь выразим общую сумму $S_{2n}$ через $S_{нечёт}$:

$S_{2n} = S_{нечёт} + S_{чёт} = S_{нечёт} + q \cdot S_{нечёт} = S_{нечёт}(1+q)$

По условию задачи, сумма всех членов прогрессии в 4 раза больше суммы её членов, стоящих на нечётных местах, то есть:

$S_{2n} = 4 \cdot S_{нечёт}$

Подставим в это условие полученное нами выражение для $S_{2n}$:

$S_{нечёт}(1+q) = 4 \cdot S_{нечёт}$

Если предположить, что прогрессия нетривиальна (т.е. $b_1 \neq 0$), то и сумма членов на нечётных местах $S_{нечёт}$ не равна нулю (за исключением частных случаев, которые не удовлетворяют условию). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $S_{нечёт}$:

$1+q = 4$

$q = 3$

Ответ: 3.

б)

Используем те же обозначения и выводы, что и в пункте а). Мы установили, что сумма членов на чётных местах ($S_{чёт}$) и сумма членов на нечётных местах ($S_{нечёт}$) связаны соотношением:

$S_{чёт} = q \cdot S_{нечёт}$

По условию этого пункта, сумма всех членов прогрессии, стоящих на чётных местах, в 2 раза больше суммы её членов, стоящих на нечётных местах:

$S_{чёт} = 2 \cdot S_{нечёт}$

Приравнивая правые части двух полученных выражений для $S_{чёт}$, имеем:

$q \cdot S_{нечёт} = 2 \cdot S_{нечёт}$

Так как $S_{нечёт} \neq 0$ для нетривиальной прогрессии, мы можем сократить обе части уравнения на $S_{нечёт}$ и получить значение знаменателя $q$:

$q = 2$

Ответ: 2.

Тригонометрия

1157. При завинчивании шестигранной гайки гаечный ключ повернули на «две грани». Выразите в градусах величину угла, на который повернули гаечный ключ, если учесть, что угол поворота отрицательный.

Шестигранная гайка имеет 6 равных граней. Полный оборот составляет $360^{\circ}$. Угол поворота, соответствующий смещению на одну грань, можно найти, разделив градусную меру полного оборота на количество граней.

1. Найдем угол поворота, приходящийся на одну грань:
$ \alpha_1 = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} $

2. По условию, ключ повернули на «две грани». Следовательно, общий угол поворота будет в два раза больше угла поворота на одну грань:
$ \alpha_2 = 2 \cdot \alpha_1 = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} $

3. В задаче указано, что угол поворота является отрицательным. Отрицательное направление вращения в математике соответствует вращению по часовой стрелке. Поэтому искомый угол равен $-120^{\circ}$.

Ответ: $-120^{\circ}$.

1158. Определите в градусах величину угла, описываемого минутной стрелкой часов за:

а) 5 мин;

б) 15 мин;

в) 45 мин;

г) 1 ч;

д) 3 ч 20 мин;

е) полсуток.

Для решения этой задачи необходимо определить, на какой угол поворачивается минутная стрелка часов за одну минуту. Полный оборот циферблата составляет $360^\circ$. Минутная стрелка проходит полный оборот за 60 минут. Следовательно, угловая скорость ее движения равна:$ \frac{360^\circ}{60 \text{ мин}} = 6^\circ/\text{мин} $.Теперь, зная скорость, мы можем рассчитать угол для каждого промежутка времени.

а) 5 мин
Угол, описываемый минутной стрелкой за 5 минут, вычисляется умножением времени на угловую скорость:
$ 5 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 30^\circ $
Ответ: $30^\circ$.

б) 15 мин
Угол, описываемый минутной стрелкой за 15 минут, составляет:
$ 15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ $
Ответ: $90^\circ$.

в) 45 мин
Угол, описываемый минутной стрелкой за 45 минут, составляет:
$ 45 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 270^\circ $
Ответ: $270^\circ$.

г) 1 ч
Один час равен 60 минутам. За это время минутная стрелка совершает один полный оборот.
$ 1 \text{ ч} = 60 \text{ мин} $
$ 60 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 360^\circ $
Ответ: $360^\circ$.

д) 3 ч 20 мин
Сначала необходимо перевести заданное время в минуты:
$ 3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = (3 \times 60) \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 180 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 200 \text{ мин} $
Теперь вычислим угол:
$ 200 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 1200^\circ $
Ответ: $1200^\circ$.

е) полсуток
Полсуток — это 12 часов. Переведем это время в минуты:
$ 12 \text{ ч} = 12 \times 60 \text{ мин} = 720 \text{ мин} $
Теперь вычислим общий угол, который опишет минутная стрелка за это время:
$ 720 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 4320^\circ $
Это эквивалентно 12 полным оборотам ($12 \times 360^\circ = 4320^\circ$).
Ответ: $4320^\circ$.

1159. На какой угол надо повернуть минутную стрелку часов, чтобы перевести часы:

а) вперёд на 10 мин;

б) назад на 1 ч 12 мин?

а) Полный оборот минутной стрелки по циферблату составляет $360^\circ$ и происходит за 60 минут. Таким образом, за одну минуту стрелка поворачивается на угол, равный:
$360^\circ \div 60 \text{ мин} = 6^\circ$.
Чтобы перевести часы вперёд на 10 минут, необходимо повернуть минутную стрелку на угол:
$10 \text{ мин} \times 6^\circ = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

б) Сначала необходимо перевести заданный интервал времени полностью в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому:
$1 \text{ ч } 12 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 12 \text{ мин} = 72 \text{ мин}$.
Поскольку за каждую минуту минутная стрелка поворачивается на $6^\circ$, для перевода часов на 72 минуты назад необходимо повернуть стрелку на следующий угол:
$72 \text{ мин} \times 6^\circ = 432^\circ$.
Ответ: $432^\circ$.

1160. При регулировке карбюратора автомашины винт холостого хода повернули против часовой стрелки на 1,75 полного оборота. Выразите угол поворота в градусах.

Для решения этой задачи необходимо перевести количество оборотов в градусы.

Известно, что один полный оборот равен $360$ градусам ($360^\circ$). Винт холостого хода повернули на $1,75$ полного оборота. Чтобы найти общий угол поворота в градусах, нужно умножить количество оборотов на градусную меру одного оборота.

Угол поворота = $1,75 \times 360^\circ$.

Выполним умножение:

$1,75 \times 360 = (1 + 0,75) \times 360 = 1 \times 360 + 0,75 \times 360$.

$1 \times 360^\circ = 360^\circ$.

$0,75$ можно представить в виде дроби $\frac{3}{4}$. Тогда:

$0,75 \times 360^\circ = \frac{3}{4} \times 360^\circ = 3 \times \frac{360^\circ}{4} = 3 \times 90^\circ = 270^\circ$.

Теперь сложим полученные значения:

$360^\circ + 270^\circ = 630^\circ$.

Следовательно, винт повернули на угол $630^\circ$.

Ответ: $630^\circ$.

1161. Ведро в колодце поднимается на 2 м, если рукоятку ворота повернуть на 5 полных оборотов по часовой стрелке. На какой угол (в градусах) надо повернуть рукоятку, чтобы ведро:

а) поднялось на 1,5 м;

б) опустилось на 3 м?

Для решения задачи сначала установим прямую пропорциональную зависимость между углом поворота рукоятки и высотой подъема ведра. Из условия мы знаем, что 5 полных оборотов рукоятки поднимают ведро на 2 метра.

Один полный оборот равен $360^\circ$. Найдем, какому углу в градусах соответствуют 5 оборотов:

$5 \text{ оборотов} \times 360^\circ/\text{оборот} = 1800^\circ$

Итак, поворот рукоятки на $1800^\circ$ поднимает ведро на 2 метра. Теперь мы можем рассчитать, на какой угол нужно повернуть рукоятку для подъема ведра на 1 метр:

$\frac{1800^\circ}{2 \text{ м}} = 900 \frac{\text{градусов}}{\text{м}}$

Эта величина (900 градусов на метр) является постоянным коэффициентом пропорциональности для данной системы.

а) На какой угол надо повернуть рукоятку, чтобы ведро поднялось на 1,5 м?

Используя найденный коэффициент, рассчитаем искомый угол. Поскольку ведро нужно поднять, вращение происходит в том же направлении, что и в условии (по часовой стрелке).

$1,5 \text{ м} \times 900 \frac{\text{градусов}}{\text{м}} = 1350^\circ$

Ответ: $1350^\circ$.

б) На какой угол надо повернуть рукоятку, чтобы ведро опустилось на 3 м?

Чтобы опустить ведро, рукоятку нужно вращать в противоположном направлении (против часовой стрелки), но величина угла на метр перемещения остается той же. Рассчитаем угол для опускания на 3 метра:

$3 \text{ м} \times 900 \frac{\text{градусов}}{\text{м}} = 2700^\circ$

Ответ: $2700^\circ$.

1162. Окружность морского компаса разделена на 32 равные части, называемые румбами. Выразите в градусах углы 1, 2, 10, 15 румбов.

Полная окружность составляет $360^\circ$. Согласно условию, окружность морского компаса разделена на 32 равные части, называемые румбами. Чтобы найти градусную меру одного румба, необходимо разделить общее количество градусов в окружности на количество румбов.

$1 \text{ румб} = \frac{360^\circ}{32} = 11,25^\circ$.

Теперь, зная градусную меру одного румба, вычислим значения для заданных углов.

1 румб

Угол, равный 1 румбу, составляет $1 \times 11,25^\circ = 11,25^\circ$.

Ответ: $11,25^\circ$.

2 румба

Угол, равный 2 румбам, составляет $2 \times 11,25^\circ = 22,5^\circ$.

Ответ: $22,5^\circ$.

10 румбов

Угол, равный 10 румбам, составляет $10 \times 11,25^\circ = 112,5^\circ$.

Ответ: $112,5^\circ$.

15 румбов

Угол, равный 15 румбам, составляет $15 \times 11,25^\circ = 168,75^\circ$.

Ответ: $168,75^\circ$.

1163. В 1799 г. Парижская академия наук ввела метрическую единицу измерения углов, которая называлась град. 1 град равен 0,01 части прямого угла. Выразите в градах углы $90^\circ$, $120^\circ$, $150^\circ$.

Для решения этой задачи необходимо установить связь между обычной градусной мерой (°) и градами. В условии сказано, что 1 град составляет 0,01 часть прямого угла.

Мы знаем, что прямой угол равен $90°$.

Следовательно, в одном прямом угле содержится $1 / 0,01 = 100$ градов. Таким образом, мы получаем ключевое соотношение:

$90° = 100 \text{ градов}$

Из этого соотношения мы можем вывести коэффициент для перевода из градусов в грады. Разделив обе части на 90, получим:

$1° = \frac{100}{90} \text{ градов} = \frac{10}{9} \text{ градов}$

Теперь мы можем использовать этот коэффициент для перевода каждого из указанных углов.

90°
Для перевода $90°$ в грады умножим это значение на коэффициент $\frac{10}{9}$:$90 \cdot \frac{10}{9} = 10 \cdot 10 = 100$ градов.
Ответ: 100 градов.

120°
Для перевода $120°$ в грады умножим это значение на коэффициент $\frac{10}{9}$:$120 \cdot \frac{10}{9} = \frac{1200}{9} = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}$ градов.
Ответ: $133\frac{1}{3}$ градов.

150°
Для перевода $150°$ в грады умножим это значение на коэффициент $\frac{10}{9}$:$150 \cdot \frac{10}{9} = \frac{1500}{9} = \frac{500}{3} = 166\frac{2}{3}$ градов.
Ответ: $166\frac{2}{3}$ градов.