Страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1204. Сумма трёх чисел равна 3898,32. Если в одном из чисел перенести запятую на одну цифру вправо, то получится большее число, а если в этом же числе перенести запятую на одну цифру влево, то получится меньшее из чисел. Найдите эти числа.

Пусть $x$ — это среднее из трёх чисел. Согласно условию, два других числа получаются из него переносом запятой.

Перенос запятой на одну цифру вправо эквивалентен умножению числа на 10. Так мы получаем большее из чисел, которое равно $10x$.

Перенос запятой на одну цифру влево эквивалентен делению числа на 10. Так мы получаем меньшее из чисел, которое равно $x/10$ или $0.1x$.

Сумма этих трёх чисел ($0.1x$, $x$ и $10x$) равна 3898,32. Составим уравнение:

$0.1x + x + 10x = 3898.32$

Сложим коэффициенты при $x$:

$(0.1 + 1 + 10)x = 3898.32$

$11.1x = 3898.32$

Теперь найдём $x$, разделив сумму на известный коэффициент:

$x = \frac{3898.32}{11.1}$

$x = 351.2$

Мы нашли среднее число. Теперь найдём два остальных:

Меньшее число: $0.1x = 0.1 \cdot 351.2 = 35.12$

Большее число: $10x = 10 \cdot 351.2 = 3512$

Проверим правильность решения, сложив найденные числа:

$35.12 + 351.2 + 3512 = 3898.32$

Сумма верна, следовательно, задача решена правильно.

Ответ: искомые числа — 35,12, 351,2 и 3512.

1205. На термометре Цельсия температуры таяния льда и кипения воды обозначаются соответственно $0^\circ$ и $100^\circ$. На термометре Фаренгейта эти температуры обозначены соответственно $-32^\circ$ и $212^\circ$. При какой температуре оба термометра будут показывать одинаковое число градусов?

Для решения этой задачи необходимо найти формулу, связывающую температуру по шкале Цельсия ($C$) и температуру по шкале Фаренгейта ($F$). Поскольку обе шкалы линейны, зависимость между ними также будет линейной и может быть выражена уравнением вида $F = kC + b$, где $k$ и $b$ — некоторые постоянные коэффициенты.

Чтобы найти эти коэффициенты, мы используем две реперные точки, указанные в условии:

1. Температура таяния льда: $0^\circ\text{C}$ соответствует $32^\circ\text{F}$.

2. Температура кипения воды: $100^\circ\text{C}$ соответствует $212^\circ\text{F}$.

Подставим значения первой точки ($C=0, F=32$) в наше линейное уравнение:

$32 = k \cdot 0 + b$

Из этого уравнения мы сразу находим значение коэффициента $b$:

$b = 32$

Теперь наше уравнение приобретает вид: $F = kC + 32$.

Далее, подставим в это уравнение значения второй точки ($C=100, F=212$):

$212 = k \cdot 100 + 32$

Теперь решим это уравнение относительно коэффициента $k$:

$100k = 212 - 32$

$100k = 180$

$k = \frac{180}{100} = \frac{9}{5}$

Таким образом, мы получили точную формулу для перевода температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта:

$F = \frac{9}{5}C + 32$

Теперь нам нужно найти температуру, при которой показания обоих термометров будут одинаковы. Обозначим это искомое значение температуры как $x$. Это означает, что в искомой точке $C = x$ и $F = x$.

Подставим $x$ в нашу формулу вместо $C$ и $F$:

$x = \frac{9}{5}x + 32$

Осталось решить это линейное уравнение относительно $x$:

$x - \frac{9}{5}x = 32$

Чтобы вычесть дроби, приведем $x$ к знаменателю 5:

$\frac{5}{5}x - \frac{9}{5}x = 32$

$-\frac{4}{5}x = 32$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-\frac{5}{4}$:

$x = 32 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right)$

$x = - \frac{32 \cdot 5}{4} = -8 \cdot 5 = -40$

Таким образом, при температуре $-40$ градусов показания на шкалах Цельсия и Фаренгейта совпадают.

Ответ: $-40^\circ$.

1206. а) Обнаружив в 64 м от себя ползающую черепаху, Ахиллес начал её преследовать. Сократив расстояние до черепахи в 8 раз и осознав своё превосходство, он прекратил погоню. Какой путь проделал Ахиллес с начала погони, если его скорость в 15 раз больше скорости черепахи, причём движение Ахиллеса и черепахи происходило по прямой?

б) До приближающегося Ахиллеса оставалось ещё 6 м, когда черепаха поняла, что ей не уйти от погони, и она обречённо остановилась. Какой путь с начала погони проделала черепаха, если её скорость в 17 раз меньше скорости Ахиллеса, расстояние между ними за время погони сократилось в 9 раз и их движение происходило по прямой?

а)

Обозначим скорость черепахи как $v_{ч}$, а скорость Ахиллеса как $v_{А}$. Пусть $t$ — время погони.

По условию, скорость Ахиллеса в 15 раз больше скорости черепахи:

$v_{А} = 15 \cdot v_{ч}$

Путь, пройденный черепахой за время $t$, равен $S_{ч} = v_{ч} \cdot t$.

Путь, пройденный Ахиллесом за время $t$, равен $S_{А} = v_{А} \cdot t = (15 \cdot v_{ч}) \cdot t = 15 \cdot (v_{ч} \cdot t) = 15 \cdot S_{ч}$.

Изначальное расстояние между ними было $S_{0} = 64$ м.

За время погони расстояние сократилось в 8 раз, значит, конечное расстояние $S_{1}$ стало:

$S_{1} = S_{0} / 8 = 64 / 8 = 8$ м.

Сокращение расстояния $\Delta S$ равно разности путей, пройденных Ахиллесом и черепахой:

$\Delta S = S_{А} - S_{ч}$

Также, сокращение расстояния — это разность между начальным и конечным расстояниями:

$\Delta S = S_{0} - S_{1} = 64 - 8 = 56$ м.

Теперь у нас есть система уравнений:

$S_{А} = 15 \cdot S_{ч}$

$S_{А} - S_{ч} = 56$

Подставим первое уравнение во второе:

$15 \cdot S_{ч} - S_{ч} = 56$

$14 \cdot S_{ч} = 56$

$S_{ч} = 56 / 14 = 4$ м.

Мы нашли путь, который проползла черепаха. Теперь найдем путь, который проделал Ахиллес:

$S_{А} = 15 \cdot S_{ч} = 15 \cdot 4 = 60$ м.

Ответ: 60 м.

б)

Обозначим скорость черепахи как $v_{ч}$, а скорость Ахиллеса как $v_{А}$. Пусть $t$ — время погони.

По условию, скорость черепахи в 17 раз меньше скорости Ахиллеса, что означает:

$v_{А} = 17 \cdot v_{ч}$

Путь, пройденный черепахой за время $t$, равен $S_{ч} = v_{ч} \cdot t$.

Путь, пройденный Ахиллесом за время $t$, равен $S_{А} = v_{А} \cdot t = (17 \cdot v_{ч}) \cdot t = 17 \cdot S_{ч}$.

Конечное расстояние между ними составило $S_{1} = 6$ м. За время погони расстояние сократилось в 9 раз. Это значит, что начальное расстояние $S_{0}$ было в 9 раз больше конечного:

$S_{0} = S_{1} \cdot 9 = 6 \cdot 9 = 54$ м.

Сокращение расстояния $\Delta S$ — это разность между начальным и конечным расстояниями:

$\Delta S = S_{0} - S_{1} = 54 - 6 = 48$ м.

Также, сокращение расстояния равно разности путей, пройденных Ахиллесом и черепахой:

$\Delta S = S_{А} - S_{ч}$

Получаем систему уравнений:

$S_{А} = 17 \cdot S_{ч}$

$S_{А} - S_{ч} = 48$

Подставим первое уравнение во второе:

$17 \cdot S_{ч} - S_{ч} = 48$

$16 \cdot S_{ч} = 48$

$S_{ч} = 48 / 16 = 3$ м.

Вопрос задачи — какой путь проделала черепаха. Мы его нашли.

Ответ: 3 м.

1207. а) Если длину прямоугольника уменьшить на 1 м, а его ширину увеличить на 1 м, то площадь прямоугольника увеличится на 5 м². На сколько метров длина прямоугольника больше его ширины?

б) Если бы папа был на 2 года моложе, а мама на 2 года старше, то произведение их возрастов было бы на 6 больше, чем сейчас. На сколько лет папа старше мамы?

а)

Пусть $l$ — первоначальная длина прямоугольника в метрах, а $w$ — первоначальная ширина в метрах. Тогда первоначальная площадь прямоугольника равна $S = l \cdot w$.

После изменений новая длина стала $(l - 1)$ м, а новая ширина — $(w + 1)$ м. Новая площадь равна $S_{новая} = (l - 1)(w + 1)$.

По условию задачи, новая площадь на 5 м² больше первоначальной, то есть $S_{новая} = S + 5$. Составим уравнение: $(l - 1)(w + 1) = l \cdot w + 5$.

Раскроем скобки в левой части уравнения: $l \cdot w + l \cdot 1 - 1 \cdot w - 1 \cdot 1 = lw + l - w - 1$.

Подставим это выражение обратно в уравнение: $lw + l - w - 1 = lw + 5$.

Вычтем из обеих частей уравнения $lw$: $l - w - 1 = 5$.

Чтобы найти разность $l - w$, прибавим 1 к обеим частям уравнения: $l - w = 5 + 1$, $l - w = 6$.

Следовательно, длина прямоугольника больше его ширины на 6 метров.

Ответ: на 6 метров.

б)

Пусть $p$ — возраст папы в годах, а $m$ — возраст мамы в годах. Текущее произведение их возрастов равно $P = p \cdot m$.

Если бы папа был на 2 года моложе, его возраст был бы $(p - 2)$ года. Если бы мама была на 2 года старше, ее возраст был бы $(m + 2)$ года. Новое произведение их возрастов было бы $P_{новое} = (p - 2)(m + 2)$.

По условию задачи, новое произведение было бы на 6 больше, чем сейчас, то есть $P_{новое} = P + 6$. Составим уравнение: $(p - 2)(m + 2) = p \cdot m + 6$.

Раскроем скобки в левой части уравнения: $p \cdot m + p \cdot 2 - 2 \cdot m - 2 \cdot 2 = pm + 2p - 2m - 4$.

Подставим это выражение обратно в уравнение: $pm + 2p - 2m - 4 = pm + 6$.

Вычтем из обеих частей уравнения $pm$: $2p - 2m - 4 = 6$.

Прибавим 4 к обеим частям уравнения: $2p - 2m = 6 + 4$, $2p - 2m = 10$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(p - m) = 10$.

Чтобы найти разность $p - m$, разделим обе части уравнения на 2: $p - m = \frac{10}{2}$, $p - m = 5$.

Следовательно, папа старше мамы на 5 лет.

Ответ: на 5 лет.

1208. Под посев пшеницы отведено 3 участка пашни, общая площадь которых в 3 раза больше площади второго участка. За день были засеяны половина первого, $\frac{2}{3}$ второго и весь третий участок. Площадь, оставшаяся незасеянной, в 2 раза меньше площади третьего участка. Какую часть отведенной под посев площади составляет площадь, засеянная за день?

Для решения задачи введем обозначения:

• $S_1$ – площадь первого участка;
• $S_2$ – площадь второго участка;
• $S_3$ – площадь третьего участка.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Общая площадь трех участков в 3 раза больше площади второго участка:

$S_1 + S_2 + S_3 = 3S_2$

Упростим это выражение:

$S_1 + S_3 = 3S_2 - S_2$

$S_1 + S_3 = 2S_2$ (Уравнение 1)

2. За день были засеяны половина первого ($\frac{1}{2}S_1$), $\frac{2}{3}$ второго ($\frac{2}{3}S_2$) и весь третий ($S_3$) участок. Найдем площадь, оставшуюся незасеянной:

На первом участке осталось: $S_1 - \frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{2}S_1$

На втором участке осталось: $S_2 - \frac{2}{3}S_2 = \frac{1}{3}S_2$

На третьем участке осталось: $S_3 - S_3 = 0$

Общая незасеянная площадь: $S_{незасеянная} = \frac{1}{2}S_1 + \frac{1}{3}S_2$

3. Площадь, оставшаяся незасеянной, в 2 раза меньше площади третьего участка. Это означает, что она равна половине площади третьего участка:

$S_{незасеянная} = \frac{1}{2}S_3$

Следовательно:

$\frac{1}{2}S_1 + \frac{1}{3}S_2 = \frac{1}{2}S_3$ (Уравнение 2)

Теперь решим систему из двух уравнений, чтобы выразить площади всех участков через одну переменную, например, через $S_2$. Умножим Уравнение 2 на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{1}{2}S_1 + \frac{1}{3}S_2) = 6 \cdot \frac{1}{2}S_3$

$3S_1 + 2S_2 = 3S_3$ (Уравнение 3)

Из Уравнения 1 выразим $S_1$: $S_1 = 2S_2 - S_3$

Подставим это выражение для $S_1$ в Уравнение 3:

$3(2S_2 - S_3) + 2S_2 = 3S_3$

$6S_2 - 3S_3 + 2S_2 = 3S_3$

$8S_2 = 6S_3$

Отсюда выразим $S_3$ через $S_2$:

$S_3 = \frac{8}{6}S_2 = \frac{4}{3}S_2$

Теперь найдем $S_1$, подставив выражение для $S_3$ в $S_1 = 2S_2 - S_3$:

$S_1 = 2S_2 - \frac{4}{3}S_2 = \frac{6S_2 - 4S_2}{3} = \frac{2}{3}S_2$

Итак, мы выразили площади всех участков через $S_2$:

• $S_1 = \frac{2}{3}S_2$
• $S_2 = S_2$
• $S_3 = \frac{4}{3}S_2$

Теперь найдем общую площадь всех участков ($S_{общая}$) и площадь, засеянную за день ($S_{засеянная}$).

Общая площадь: $S_{общая} = S_1 + S_2 + S_3 = 3S_2$ (из первого условия).

Площадь, засеянная за день:

$S_{засеянная} = \frac{1}{2}S_1 + \frac{2}{3}S_2 + S_3$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_3$:

$S_{засеянная} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3}S_2) + \frac{2}{3}S_2 + \frac{4}{3}S_2 = \frac{1}{3}S_2 + \frac{2}{3}S_2 + \frac{4}{3}S_2 = \frac{1+2+4}{3}S_2 = \frac{7}{3}S_2$

Вопрос задачи: какую часть отведённой под посев площади составляет площадь, засеянная за день? Нам нужно найти отношение $\frac{S_{засеянная}}{S_{общая}}$.

$\frac{S_{засеянная}}{S_{общая}} = \frac{\frac{7}{3}S_2}{3S_2} = \frac{7/3}{3} = \frac{7}{3 \cdot 3} = \frac{7}{9}$

Ответ: Площадь, засеянная за день, составляет $\frac{7}{9}$ от всей отведенной под посев площади.

1209. Велосипедист проехал расстояние от пункта $A$ до пункта $B$ и обратно с постоянной скоростью. Мотоциклист проехал расстояние $AB$ со скоростью в $n$ раз большей, чем скорость велосипедиста. Он оставил мотоцикл в пункте $B$ и вернулся в пункт $A$ пешком со скоростью в $n$ раз меньшей, чем скорость велосипедиста. Кто из них был дольше в пути и во сколько раз, если:

a) $n=2$;

б) $n=5$?

Для решения задачи введем переменные. Пусть расстояние от пункта А до пункта В равно $S$, а постоянная скорость велосипедиста равна $v$.

Велосипедист проехал путь туда и обратно, то есть общее расстояние $2S$. Время, которое он затратил, составляет:
$t_{велосипедист} = \frac{2S}{v}$

Теперь рассчитаем время в пути для мотоциклиста. Его путешествие состоит из двух частей.
1. Путь из А в В на мотоцикле. Расстояние равно $S$. Скорость в $n$ раз больше скорости велосипедиста, то есть $v_{мото} = n \cdot v$. Время на этом отрезке:
$t_1 = \frac{S}{v_{мото}} = \frac{S}{n \cdot v}$
2. Путь из В в А пешком. Расстояние равно $S$. Скорость в $n$ раз меньше скорости велосипедиста, то есть $v_{пешком} = \frac{v}{n}$. Время на этом отрезке:
$t_2 = \frac{S}{v_{пешком}} = \frac{S}{v/n} = \frac{nS}{v}$

Общее время мотоциклиста в пути — это сумма времен $t_1$ и $t_2$:
$t_{мотоциклист} = t_1 + t_2 = \frac{S}{nv} + \frac{nS}{v} = \frac{S + n^2S}{nv} = \frac{S(1 + n^2)}{nv} = \frac{S}{v} \cdot \frac{n^2 + 1}{n}$

Чтобы сравнить, кто был в пути дольше и во сколько раз, найдем отношение времени мотоциклиста ко времени велосипедиста:
$\frac{t_{мотоциклист}}{t_{велосипедист}} = \frac{\frac{S}{v} \cdot \frac{n^2 + 1}{n}}{\frac{2S}{v}} = \frac{S \cdot (n^2 + 1) \cdot v}{v \cdot n \cdot 2S} = \frac{n^2 + 1}{2n}$

Теперь, используя эту общую формулу, мы можем найти ответ для каждого конкретного случая.

а)

При $n=2$ подставляем это значение в нашу формулу отношения времен:
$\frac{t_{мотоциклист}}{t_{велосипедист}} = \frac{2^2 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4} = 1,25$
Поскольку отношение больше единицы, мотоциклист был в пути дольше.
Ответ: Мотоциклист был в пути дольше в 1,25 раза.

б)

При $n=5$ подставляем это значение в формулу:
$\frac{t_{мотоциклист}}{t_{велосипедист}} = \frac{5^2 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{25 + 1}{10} = \frac{26}{10} = 2,6$
Поскольку отношение больше единицы, мотоциклист был в пути дольше.
Ответ: Мотоциклист был в пути дольше в 2,6 раза.