Страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1234. Несколько учащихся 9А и 9Б классов организовали турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Учащиеся 9А класса вместе набрали 26 очков, а учащиеся 9Б класса, которых было на 3 больше, набрали очков поровну. Сколько было участников турнира?

Для решения задачи введем переменные и последовательно проанализируем все условия.

1. Введение обозначений

Пусть $n_A$ — количество учащихся из 9А класса, участвовавших в турнире.

Пусть $n_B$ — количество учащихся из 9Б класса, участвовавших в турнире.

По условию, учащихся 9Б класса было на 3 больше, чем учащихся 9А:

$n_B = n_A + 3$

Общее количество участников турнира $N$ равно:

$N = n_A + n_B = n_A + (n_A + 3) = 2n_A + 3$

2. Анализ общего количества очков

В турнире каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Это круговая система. Общее количество партий в турнире с $N$ участниками равно числу сочетаний из $N$ по 2:

$G = \binom{N}{2} = \frac{N(N-1)}{2}$

В каждой партии разыгрывается 2 очка (либо 2 очка победителю и 0 проигравшему, либо по 1 очку каждому при ничьей). Следовательно, общее количество очков, набранных всеми участниками турнира, равно:

$S_{общ} = 2 \cdot G = 2 \cdot \frac{N(N-1)}{2} = N(N-1)$

Это общее количество очков складывается из очков, набранных учащимися 9А класса ($S_A$), и очков, набранных учащимися 9Б класса ($S_B$).

$S_{общ} = S_A + S_B$

По условию, $S_A = 26$.

3. Анализ очков внутри и между классами

Общая сумма очков $S_A$, набранная учениками 9А класса, складывается из очков, полученных в играх с одноклассниками ($S_{A \leftrightarrow A}$), и очков, полученных в играх с учениками 9Б класса ($S_{A \leftrightarrow B}$).

Количество очков, разыгранных внутри 9А класса, равно $n_A(n_A-1)$. Эти очки полностью распределяются между учениками 9А. Таким образом, $S_A$ не может быть меньше этой величины.

$S_A \ge n_A(n_A-1)$

$26 \ge n_A(n_A-1)$

Проверим возможные целые значения $n_A \ge 1$:

• Если $n_A = 1$, то $1(0) = 0 \le 26$. Возможно.
• Если $n_A = 2$, то $2(1) = 2 \le 26$. Возможно.
• Если $n_A = 3$, то $3(2) = 6 \le 26$. Возможно.
• Если $n_A = 4$, то $4(3) = 12 \le 26$. Возможно.
• Если $n_A = 5$, то $5(4) = 20 \le 26$. Возможно.
• Если $n_A = 6$, то $6(5) = 30 > 26$. Невозможно.

Таким образом, количество учеников из 9А класса может быть $1, 2, 3, 4$ или $5$.

4. Использование условия о равенстве очков учащихся 9Б класса

Сумма очков $S_B$, набранная учениками 9Б класса, складывается из очков в играх с одноклассниками ($S_{B \leftrightarrow B}$) и очков в играх с учениками 9А класса ($S_{B \leftrightarrow A}$).

$S_B = S_{B \leftrightarrow B} + S_{B \leftrightarrow A}$

Сумма очков, разыгранных внутри 9Б класса, равна $S_{B \leftrightarrow B} = n_B(n_B-1)$.

По условию, все ученики 9Б класса набрали очков поровну. Пусть каждый из них набрал $k$ очков. Тогда общая сумма очков учеников 9Б класса $S_B = k \cdot n_B$. Это означает, что $S_B$ должно делиться на $n_B$ без остатка.

Так как $S_B = n_B(n_B-1) + S_{B \leftrightarrow A}$ и $n_B(n_B-1)$ делится на $n_B$, то для делимости $S_B$ на $n_B$ необходимо, чтобы $S_{B \leftrightarrow A}$ (очки, набранные учениками 9Б в играх против 9А) также делилось на $n_B$.

Найдем $S_{B \leftrightarrow A}$. Общее число партий между учениками двух классов равно $n_A \cdot n_B$. Общее число очков, разыгранных в этих партиях, равно $2 \cdot n_A \cdot n_B$. Эти очки делятся между учениками 9А и 9Б:

$S_{A \leftrightarrow B} + S_{B \leftrightarrow A} = 2n_A n_B$

Из анализа очков 9А класса мы знаем, что $S_A = S_{A \leftrightarrow A} + S_{A \leftrightarrow B}$, то есть $26 = n_A(n_A-1) + S_{A \leftrightarrow B}$.

Отсюда $S_{A \leftrightarrow B} = 26 - n_A(n_A-1)$.

Тогда $S_{B \leftrightarrow A} = 2n_A n_B - S_{A \leftrightarrow B} = 2n_A n_B - (26 - n_A(n_A-1))$.

Подставим $n_B = n_A + 3$:

$S_{B \leftrightarrow A} = 2n_A(n_A+3) - 26 + n_A(n_A-1) = 2n_A^2 + 6n_A - 26 + n_A^2 - n_A = 3n_A^2 + 5n_A - 26$

Это выражение должно делиться на $n_B = n_A+3$. Используем деление многочленов (или теорему о остатке). Остаток от деления многочлена $P(x) = 3x^2+5x-26$ на $x+3$ равен $P(-3)$:

$P(-3) = 3(-3)^2 + 5(-3) - 26 = 3(9) - 15 - 26 = 27 - 41 = -14$

Это означает, что $3n_A^2 + 5n_A - 26 = Q(n_A) \cdot (n_A+3) - 14$, где $Q(n_A)$ — частное. Чтобы $S_{B \leftrightarrow A}$ делилось на $n_A+3$, необходимо, чтобы остаток $-14$ делился на $n_A+3$.

Следовательно, $n_A+3$ должно быть делителем числа 14. Делители 14: $1, 2, 7, 14$.

Поскольку $n_A \ge 1$, то $n_A+3 \ge 4$. Значит, возможные значения для $n_A+3$ — это 7 и 14.

• Если $n_A+3 = 7$, то $n_A=4$.
• Если $n_A+3 = 14$, то $n_A=11$.

Вспомним ограничение из пункта 3: $n_A \le 5$. Этому условию удовлетворяет только $n_A=4$.

5. Определение количества участников и проверка

Итак, единственно возможный вариант — это $n_A=4$.

Тогда количество учеников из 9Б класса: $n_B = n_A+3 = 4+3=7$.

Общее количество участников турнира: $N = n_A+n_B = 4+7=11$.

Проверим, выполняются ли все условия задачи:

• Общее число очков в турнире: $S_{общ} = N(N-1) = 11 \cdot 10 = 110$ очков.
• Очки 9А класса: $S_A = 26$ (по условию).
• Очки 9Б класса: $S_B = S_{общ} - S_A = 110 - 26 = 84$ очка.
• В 9Б классе 7 учеников. Очков на каждого: $84 / 7 = 12$. Так как 12 — целое число, условие о том, что ученики 9Б набрали очков поровну, выполняется.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: В турнире было 11 участников.

1235. Если поезд, идущий из города $A$ в город $B$, уменьшит скорость движения на $10 \text{ км/ч}$, то время, за которое он пройдёт расстояние от города $A$ до города $B$, увеличится на $25 \%$. Определите скорость движения поезда.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v$ — первоначальная скорость поезда в км/ч, которую нам необходимо найти. Пусть $S$ — расстояние от города А до города В, а $t$ — время, которое поезд тратит на этот путь с первоначальной скоростью.

Основная формула, связывающая расстояние, скорость и время, имеет вид: $S = v \cdot t$.

Рассмотрим ситуацию, описанную в условии. Скорость поезда уменьшается на 10 км/ч. Новая скорость поезда будет: $v_{новая} = v - 10$ км/ч.

При этом время в пути увеличивается на 25%. Это означает, что новое время $t_{новое}$ будет на 25% больше первоначального времени $t$. Математически это можно записать так: $t_{новое} = t + 0.25 \cdot t = 1.25t$.

Расстояние $S$ между городами остается неизменным, поэтому для новых условий мы можем записать аналогичное уравнение: $S = v_{новая} \cdot t_{новое}$.

Подставим в это уравнение выражения для новой скорости и нового времени: $S = (v - 10) \cdot (1.25t)$.

Теперь у нас есть два разных выражения для одного и того же расстояния $S$: 1) $S = v \cdot t$ 2) $S = (v - 10) \cdot 1.25t$

Поскольку левые части этих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части: $v \cdot t = (v - 10) \cdot 1.25t$.

Так как время $t$ не может быть равно нулю (поезд находится в пути), мы можем без опасений разделить обе части уравнения на $t$: $v = (v - 10) \cdot 1.25$.

Мы получили линейное уравнение с одной неизвестной $v$. Решим его. Сначала раскроем скобки в правой части: $v = 1.25 \cdot v - 10 \cdot 1.25$ $v = 1.25v - 12.5$.

Теперь сгруппируем все слагаемые с переменной $v$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой. Перенесем $1.25v$ в левую часть: $v - 1.25v = -12.5$ $-0.25v = -12.5$.

Чтобы найти $v$, разделим обе части уравнения на -0.25: $v = \frac{-12.5}{-0.25} = \frac{12.5}{0.25}$.

Выполним деление. Деление на 0.25 эквивалентно умножению на 4: $v = 12.5 \cdot 4 = 50$.

Следовательно, первоначальная скорость движения поезда равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

1236. На первом участке пути в 96 км поезд шёл со скоростью на 2 км/ч большей, чем на втором участке в 69 км. Весь путь был пройден за 3 ч 30 мин. Определите скорость поезда на втором участке пути.

Пусть скорость поезда на втором участке пути равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость поезда на первом участке пути, который на 2 км/ч больше, равна $(x + 2)$ км/ч.

Время, затраченное поездом на прохождение первого участка пути длиной 96 км, можно выразить формулой времени $t = \frac{s}{v}$, где $s$ — расстояние, а $v$ — скорость. Таким образом, время на первом участке:
$t_1 = \frac{96}{x+2}$ ч.

Аналогично, время, затраченное на прохождение второго участка пути длиной 69 км:
$t_2 = \frac{69}{x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 3 ч 30 мин. Переведем это время в часы:
3 ч 30 мин = $3 + \frac{30}{60}$ ч = $3 + 0.5$ ч = $3.5$ ч.

Сумма времени, затраченного на оба участка, равна общему времени в пути. Составим уравнение:
$t_1 + t_2 = 3.5$
$\frac{96}{x+2} + \frac{69}{x} = 3.5$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$:
$\frac{96x + 69(x+2)}{x(x+2)} = 3.5$

Умножим обе части уравнения на $x(x+2)$, при условии что $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Так как $x$ — это скорость, она должна быть положительной, поэтому эти условия выполняются.
$96x + 69(x+2) = 3.5x(x+2)$
$96x + 69x + 138 = 3.5x^2 + 7x$
$165x + 138 = 3.5x^2 + 7x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$3.5x^2 + 7x - 165x - 138 = 0$
$3.5x^2 - 158x - 138 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:
$7x^2 - 316x - 276 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-316)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-276) = 99856 + 7728 = 107584$
$\sqrt{D} = \sqrt{107584} = 328$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{316 + 328}{2 \cdot 7} = \frac{644}{14} = 46$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{316 - 328}{2 \cdot 7} = \frac{-12}{14} = -\frac{6}{7}$

Поскольку скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -\frac{6}{7}$ не является решением задачи. Следовательно, скорость поезда на втором участке пути составляет 46 км/ч.

Проверим найденное решение.
Скорость на втором участке: 46 км/ч.
Скорость на первом участке: $46 + 2 = 48$ км/ч.
Время на первом участке: $t_1 = \frac{96}{48} = 2$ ч.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{69}{46} = 1.5$ ч.
Общее время: $t_{общ} = 2 + 1.5 = 3.5$ ч, что соответствует 3 ч 30 мин.

Ответ: 46 км/ч.

1237. Моторная лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами на реке туда и обратно, не останавливаясь, за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Определите скорость течения реки.

Пусть $v_т$ — искомая скорость течения реки в км/ч.

Собственная скорость моторной лодки $v_л = 20$ км/ч. Расстояние между пунктами $S = 60$ км.

Скорость лодки при движении по течению реки составляет $v_{по} = v_л + v_т = (20 + v_т)$ км/ч.
Скорость лодки при движении против течения реки составляет $v_{против} = v_л - v_т = (20 - v_т)$ км/ч.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, равно $t_1 = \frac{S}{v_{по}} = \frac{60}{20 + v_т}$ ч.
Время, которое лодка затратила на путь против течения, равно $t_2 = \frac{S}{v_{против}} = \frac{60}{20 - v_т}$ ч.

Общее время в пути составляет 6 ч 15 мин. Переведем это время в часы для удобства вычислений:$t_{общ} = 6 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 6 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 6 + \frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{24}{4} + \frac{1}{4} = \frac{25}{4}$ ч.

Общее время движения равно сумме времени движения по течению и против течения: $t_1 + t_2 = t_{общ}$.Составим и решим уравнение:

$\frac{60}{20 + v_т} + \frac{60}{20 - v_т} = \frac{25}{4}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{60(20 - v_т) + 60(20 + v_т)}{(20 + v_т)(20 - v_т)} = \frac{25}{4}$

Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе:

$\frac{1200 - 60v_т + 1200 + 60v_т}{20^2 - v_т^2} = \frac{25}{4}$

Упростим выражение в числителе:

$\frac{2400}{400 - v_т^2} = \frac{25}{4}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$25 \cdot (400 - v_т^2) = 2400 \cdot 4$

$10000 - 25v_т^2 = 9600$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $v_т$:

$25v_т^2 = 10000 - 9600$

$25v_т^2 = 400$

$v_т^2 = \frac{400}{25}$

$v_т^2 = 16$

Отсюда $v_т = \sqrt{16} = 4$ или $v_т = -4$.

Так как скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, мы выбираем положительное значение $v_т = 4$. Это значение также удовлетворяет условию, что скорость течения должна быть меньше собственной скорости лодки ($4 < 20$), иначе лодка не смогла бы двигаться против течения.

Таким образом, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

1238. Для перевозки 75 т груза выделили несколько грузовиков. Однако 5 грузовиков перевели на другой участок, поэтому в каждый из оставшихся грузовиков пришлось погрузить на 0,5 т груза больше, чем предполагалось. Сколько грузовиков использовалось в перевозке груза?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $n$ — это количество грузовиков, которое было использовано для перевозки груза. Согласно условию, изначально планировалось использовать на 5 грузовиков больше, то есть $n + 5$ грузовиков.

Общий вес груза, который необходимо перевезти, составляет 75 тонн.

Исходя из первоначального плана, на каждый из $n + 5$ грузовиков должны были погрузить $\frac{75}{n+5}$ тонн груза.

После того как 5 грузовиков перевели на другой участок, на каждый из оставшихся $n$ грузовиков пришлось погрузить $\frac{75}{n}$ тонн груза.

По условию, фактическая загрузка каждого грузовика оказалась на 0,5 тонны (или $\frac{1}{2}$ тонны) больше, чем планировалось. На основе этого мы можем составить уравнение:

$\frac{75}{n} - \frac{75}{n+5} = 0.5$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю, которым является $n(n+5)$:

$\frac{75(n+5) - 75n}{n(n+5)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{75n + 375 - 75n}{n^2 + 5n} = 0.5$

$\frac{375}{n^2 + 5n} = 0.5$

Теперь воспользуемся свойством пропорции. Учитывая, что $n$ — это количество грузовиков, оно не может быть равно 0 или -5.

$375 = 0.5 \cdot (n^2 + 5n)$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$750 = n^2 + 5n$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $an^2+bn+c=0$:

$n^2 + 5n - 750 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=-750$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 25 + 3000 = 3025$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55$

Первый корень:

$n_1 = \frac{-5 + 55}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$

Второй корень:

$n_2 = \frac{-5 - 55}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$

Так как $n$ представляет собой количество грузовиков, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $n_2 = -30$ не является решением задачи. Таким образом, для перевозки груза было использовано 25 грузовиков.

Проверим полученный результат:

• Изначально планировалось: $25 + 5 = 30$ грузовиков. Планируемая загрузка на один грузовик: $75 \div 30 = 2.5$ тонны.
• Фактически использовалось: 25 грузовиков. Фактическая загрузка на один грузовик: $75 \div 25 = 3$ тонны.
• Разница в загрузке: $3 - 2.5 = 0.5$ тонны, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 25 грузовиков.

1239. Сопротивление цепи двух параллельно соединённых проводников равно 15 Ом. Первый проводник имеет сопротивление на 16 Ом больше, чем второй. Определите сопротивление каждого проводника.

Обозначим сопротивление первого проводника как $R_1$, а второго — как $R_2$.

Согласно условию задачи, сопротивление первого проводника на 16 Ом больше, чем второго. Это можно записать в виде уравнения:
$R_1 = R_2 + 16$

Общее сопротивление $R_{общ}$ двух параллельно соединённых проводников определяется по формуле:
$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
которую можно представить в виде:
$R_{общ} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Из условия известно, что общее сопротивление цепи равно 15 Ом, то есть $R_{общ} = 15$ Ом. Подставим известные значения в формулу:
$15 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:
1) $R_1 = R_2 + 16$
2) $15 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим выражение для $R_1$ из первого уравнения во второе:
$15 = \frac{(R_2 + 16) \cdot R_2}{(R_2 + 16) + R_2}$
Упростим выражение:
$15 = \frac{R_2^2 + 16R_2}{2R_2 + 16}$

Решим это уравнение относительно $R_2$. Умножим обе части на знаменатель $(2R_2 + 16)$:
$15 \cdot (2R_2 + 16) = R_2^2 + 16R_2$
$30R_2 + 240 = R_2^2 + 16R_2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$R_2^2 + 16R_2 - 30R_2 - 240 = 0$
$R_2^2 - 14R_2 - 240 = 0$

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.

Теперь найдем возможные значения для $R_2$ по формуле корней квадратного уравнения:
$R_{2,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) + 34}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 34}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$R_{2,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) - 34}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 34}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Поскольку сопротивление не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только первый корень. Таким образом, сопротивление второго проводника равно:
$R_2 = 24$ Ом.

Теперь найдем сопротивление первого проводника, используя соотношение $R_1 = R_2 + 16$:
$R_1 = 24 + 16 = 40$ Ом.

Ответ: сопротивление первого проводника равно 40 Ом, сопротивление второго проводника равно 24 Ом.

1240. Груз весом 60 кг производит некоторое давление на опору. Если вес груза уменьшить на 10 кг, а площадь опоры — на $5 \text{ дм}^2$, то давление увеличится на $1 \text{ кг/дм}^2$. Определите площадь опоры.

Обозначим исходную площадь опоры как $S$ в дм², а исходное давление как $P$ в кг/дм².

Согласно условию задачи, исходный вес груза (в данном контексте используется как масса) $m_1 = 60$ кг. Давление определяется как отношение веса к площади опоры. Таким образом, исходное давление равно:

$P = \frac{m_1}{S} = \frac{60}{S}$

Далее, вес груза уменьшают на 10 кг, а площадь опоры уменьшают на 5 дм². Новый вес груза $m_2$ и новая площадь опоры $S_2$ будут равны:

$m_2 = 60 - 10 = 50$ кг
$S_2 = S - 5$ дм²

При этом новое давление $P_2$ увеличилось на 1 кг/дм² по сравнению с исходным давлением $P$:

$P_2 = P + 1$

Выразим новое давление через новые вес и площадь:

$P_2 = \frac{m_2}{S_2} = \frac{50}{S - 5}$

Теперь мы можем составить уравнение, подставив выражения для $P$ и $P_2$ в соотношение $P_2 = P + 1$:

$\frac{50}{S - 5} = \frac{60}{S} + 1$

Для решения этого уравнения приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{50}{S - 5} = \frac{60 + S}{S}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что по физическому смыслу задачи площадь $S > 5$, а значит $S \neq 0$ и $S - 5 \neq 0$:

$50 \cdot S = (S - 5) \cdot (60 + S)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$50S = 60S + S^2 - 300 - 5S$

Приведем подобные слагаемые:

$50S = S^2 + 55S - 300$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$S^2 + 55S - 50S - 300 = 0$

$S^2 + 5S - 300 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

Найдем корни уравнения по формуле $S_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

$S_1 = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$S_2 = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Поскольку площадь опоры не может быть отрицательной величиной, корень $S_2 = -20$ не является решением задачи. Следовательно, исходная площадь опоры равна 15 дм².

Проверим полученный результат:
Исходное давление: $P = \frac{60}{15} = 4$ кг/дм².
Новая площадь: $S_2 = 15 - 5 = 10$ дм².
Новый вес: $m_2 = 60 - 10 = 50$ кг.
Новое давление: $P_2 = \frac{50}{10} = 5$ кг/дм².
Увеличение давления: $P_2 - P = 5 - 4 = 1$ кг/дм², что соответствует условию задачи.

Ответ: 15 дм².

1241. Автомобиль с грузом проехал $140 \, \text{км}$ с некоторой постоянной скоростью. На обратном пути, двигаясь порожняком, автомобиль увеличил скорость на $20 \, \text{км/ч}$. В результате на обратный путь он затратил на $48 \, \text{мин}$ меньше. Определите первоначальную скорость автомобиля.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автомобиля с грузом. Тогда скорость порожнего автомобиля на обратном пути равна $(v + 20)$ км/ч.

Расстояние в одну сторону составляет 140 км. Время, затраченное на путь с грузом, равно $t_1 = \frac{140}{v}$ часов. Время, затраченное на обратный путь, равно $t_2 = \frac{140}{v + 20}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь автомобиль затратил на 48 минут меньше. Переведем минуты в часы:

$48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0.8 \text{ ч}$.

Составим уравнение, исходя из разницы во времени:

$t_1 - t_2 = \frac{4}{5}$

$\frac{140}{v} - \frac{140}{v + 20} = \frac{4}{5}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 20)$:

$\frac{140(v + 20) - 140v}{v(v + 20)} = \frac{4}{5}$

$\frac{140v + 2800 - 140v}{v^2 + 20v} = \frac{4}{5}$

$\frac{2800}{v^2 + 20v} = \frac{4}{5}$

Используем свойство пропорции:

$4(v^2 + 20v) = 2800 \cdot 5$

$4v^2 + 80v = 14000$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$v^2 + 20v = 3500$

$v^2 + 20v - 3500 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 120}{2}$

$v_1 = \frac{-20 + 120}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-20 - 120}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -70$ не имеет физического смысла. Следовательно, первоначальная скорость автомобиля равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

1242. Из винтовки произведён выстрел вверх. Скорость пули при вылете из ствола винтовки равна 800 м/с. Считая, что выстрел произведён при $t = 0$ в точке $s = 0$ оси $Os$, напишите закон движения пули в случае, если:

a) ось $Os$ направлена вверх;

б) ось $Os$ направлена вниз.

Для решения задачи воспользуемся общим уравнением равноускоренного движения, так как после вылета из ствола пуля движется только под действием силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Ускорение пули равно ускорению свободного падения $g$, которое направлено вертикально вниз. Примем $g \approx 9.8$ м/с$^2$.

Закон движения в общем виде:

$s(t) = s_0 + v_{0s}t + \frac{a_s t^2}{2}$

где $s(t)$ — координата тела в момент времени $t$, $s_0$ — начальная координата, $v_{0s}$ — проекция начальной скорости на ось $Os$, $a_s$ — проекция ускорения на ось $Os$.

По условию, выстрел произведен при $t=0$ в точке $s_0=0$. Начальная скорость пули $v_0 = 800$ м/с и направлена вверх.

а) ось Os направлена вверх

В этом случае положительное направление оси совпадает с направлением начальной скорости, поэтому ее проекция положительна: $v_{0s} = +v_0 = 800$ м/с.

Ускорение свободного падения $g$ направлено вниз, то есть в сторону, противоположную положительному направлению оси $Os$. Поэтому его проекция отрицательна: $a_s = -g \approx -9.8$ м/с$^2$.

Подставим значения в уравнение движения:

$s(t) = 0 + 800 \cdot t + \frac{(-9.8) \cdot t^2}{2}$

Упростив выражение, получим закон движения пули:

$s(t) = 800t - 4.9t^2$

Ответ: $s(t) = 800t - 4.9t^2$.

б) ось Os направлена вниз

В этом случае положительное направление оси противоположно направлению начальной скорости, поэтому ее проекция отрицательна: $v_{0s} = -v_0 = -800$ м/с.

Ускорение свободного падения $g$ направлено вниз, то есть в ту же сторону, что и положительное направление оси $Os$. Поэтому его проекция положительна: $a_s = +g \approx +9.8$ м/с$^2$.

Подставим значения в уравнение движения:

$s(t) = 0 + (-800) \cdot t + \frac{9.8 \cdot t^2}{2}$

Упростив выражение, получим закон движения пули:

$s(t) = -800t + 4.9t^2$

Ответ: $s(t) = -800t + 4.9t^2$.