Номер 1241, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1241. Автомобиль с грузом проехал $140 \, \text{км}$ с некоторой постоянной скоростью. На обратном пути, двигаясь порожняком, автомобиль увеличил скорость на $20 \, \text{км/ч}$. В результате на обратный путь он затратил на $48 \, \text{мин}$ меньше. Определите первоначальную скорость автомобиля.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автомобиля с грузом. Тогда скорость порожнего автомобиля на обратном пути равна $(v + 20)$ км/ч.

Расстояние в одну сторону составляет 140 км. Время, затраченное на путь с грузом, равно $t_1 = \frac{140}{v}$ часов. Время, затраченное на обратный путь, равно $t_2 = \frac{140}{v + 20}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь автомобиль затратил на 48 минут меньше. Переведем минуты в часы:

$48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0.8 \text{ ч}$.

Составим уравнение, исходя из разницы во времени:

$t_1 - t_2 = \frac{4}{5}$

$\frac{140}{v} - \frac{140}{v + 20} = \frac{4}{5}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 20)$:

$\frac{140(v + 20) - 140v}{v(v + 20)} = \frac{4}{5}$

$\frac{140v + 2800 - 140v}{v^2 + 20v} = \frac{4}{5}$

$\frac{2800}{v^2 + 20v} = \frac{4}{5}$

Используем свойство пропорции:

$4(v^2 + 20v) = 2800 \cdot 5$

$4v^2 + 80v = 14000$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$v^2 + 20v = 3500$

$v^2 + 20v - 3500 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 120}{2}$

$v_1 = \frac{-20 + 120}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-20 - 120}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -70$ не имеет физического смысла. Следовательно, первоначальная скорость автомобиля равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.