Номер 1236, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1236. На первом участке пути в 96 км поезд шёл со скоростью на 2 км/ч большей, чем на втором участке в 69 км. Весь путь был пройден за 3 ч 30 мин. Определите скорость поезда на втором участке пути.

Пусть скорость поезда на втором участке пути равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость поезда на первом участке пути, который на 2 км/ч больше, равна $(x + 2)$ км/ч.

Время, затраченное поездом на прохождение первого участка пути длиной 96 км, можно выразить формулой времени $t = \frac{s}{v}$, где $s$ — расстояние, а $v$ — скорость. Таким образом, время на первом участке:
$t_1 = \frac{96}{x+2}$ ч.

Аналогично, время, затраченное на прохождение второго участка пути длиной 69 км:
$t_2 = \frac{69}{x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 3 ч 30 мин. Переведем это время в часы:
3 ч 30 мин = $3 + \frac{30}{60}$ ч = $3 + 0.5$ ч = $3.5$ ч.

Сумма времени, затраченного на оба участка, равна общему времени в пути. Составим уравнение:
$t_1 + t_2 = 3.5$
$\frac{96}{x+2} + \frac{69}{x} = 3.5$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$:
$\frac{96x + 69(x+2)}{x(x+2)} = 3.5$

Умножим обе части уравнения на $x(x+2)$, при условии что $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Так как $x$ — это скорость, она должна быть положительной, поэтому эти условия выполняются.
$96x + 69(x+2) = 3.5x(x+2)$
$96x + 69x + 138 = 3.5x^2 + 7x$
$165x + 138 = 3.5x^2 + 7x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$3.5x^2 + 7x - 165x - 138 = 0$
$3.5x^2 - 158x - 138 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:
$7x^2 - 316x - 276 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-316)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-276) = 99856 + 7728 = 107584$
$\sqrt{D} = \sqrt{107584} = 328$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{316 + 328}{2 \cdot 7} = \frac{644}{14} = 46$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{316 - 328}{2 \cdot 7} = \frac{-12}{14} = -\frac{6}{7}$

Поскольку скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -\frac{6}{7}$ не является решением задачи. Следовательно, скорость поезда на втором участке пути составляет 46 км/ч.

Проверим найденное решение.
Скорость на втором участке: 46 км/ч.
Скорость на первом участке: $46 + 2 = 48$ км/ч.
Время на первом участке: $t_1 = \frac{96}{48} = 2$ ч.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{69}{46} = 1.5$ ч.
Общее время: $t_{общ} = 2 + 1.5 = 3.5$ ч, что соответствует 3 ч 30 мин.

Ответ: 46 км/ч.