Номер 1233, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1233. В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым по две партии. За выигрыш в партии присуждали 1 очко, за ничью — $ \frac{1}{2} $ очка, за проигрыш — 0 очков. Три лучших игрока набрали вместе 24 очка, что составило половину от числа очков остальных участников, вместе взятых. Сколько было участников турнира?

Для решения задачи сначала найдем общее количество очков, разыгранных в турнире. Пусть $S_{ост}$ — это сумма очков, набранных остальными участниками (всеми, кроме трех лучших). По условию, три лучших игрока набрали 24 очка, и это составляет половину от очков остальных участников. Математически это можно записать так:

$24 = \frac{1}{2} \cdot S_{ост}$

Отсюда находим, что остальные участники набрали:

$S_{ост} = 24 \cdot 2 = 48$ очков.

Теперь мы можем вычислить общее количество очков $S_{общ}$, набранных всеми участниками турнира, сложив очки трех лучших и очки остальных:

$S_{общ} = 24 + 48 = 72$ очка.

Важным моментом является то, что в каждой шахматной партии, независимо от ее исхода, суммарно разыгрывается 1 очко (либо 1 очко победителю и 0 проигравшему, либо по $\frac{1}{2}$ очка каждому в случае ничьей). Это означает, что общее количество сыгранных партий в турнире равно общему количеству набранных очков. Таким образом, всего было сыграно 72 партии.

Теперь найдем связь между количеством участников и количеством партий. Пусть $N$ — общее число участников турнира. Каждый участник играет с каждым другим. Число пар участников можно найти по формуле сочетаний: $C_N^2 = \frac{N(N-1)}{2}$. Поскольку по условию каждый участник сыграл с каждым по две партии (один раз белыми, один раз черными), общее количество партий в турнире вычисляется как:

Количество партий $= 2 \cdot \frac{N(N-1)}{2} = N(N-1)$.

Мы уже знаем, что всего было сыграно 72 партии. Приравниваем эти значения и получаем уравнение:

$N(N-1) = 72$

Это квадратное уравнение $N^2 - N - 72 = 0$. Его можно решить через дискриминант или заметить, что 72 является произведением двух последовательных целых чисел: $9 \cdot 8 = 72$. Следовательно, $N=9$.

Проверим формальным решением квадратного уравнения:

$N = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2}$

Уравнение имеет два корня: $N_1 = \frac{1+17}{2} = 9$ и $N_2 = \frac{1-17}{2} = -8$. Так как количество участников не может быть отрицательным, единственным верным решением является $N=9$.

Ответ: 9 участников.