Номер 1226, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1226. Периметр прямоугольника равен $16 \text{ дм}$, а его площадь равна $15 \text{ дм}^2$. Определите стороны этого прямоугольника.

Пусть длина одной стороны прямоугольника будет $a$ дм, а другой — $b$ дм.

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$.
Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

По условиям задачи нам даны периметр $P = 16$ дм и площадь $S = 15$ дм². Составим систему уравнений:
$2(a + b) = 16$
$a \cdot b = 15$

Из первого уравнения найдем сумму сторон $a$ и $b$:
$a + b = 16 / 2$
$a + b = 8$

Теперь наша система выглядит так:
$a + b = 8$
$a \cdot b = 15$

Можно решить эту систему методом подстановки. Выразим $a$ из первого уравнения:
$a = 8 - b$

Подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:
$(8 - b) \cdot b = 15$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:
$8b - b^2 = 15$
$-b^2 + 8b - 15 = 0$
$b^2 - 8b + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 8, а произведение равно 15. Эти числа — 3 и 5.
Следовательно, корни уравнения: $b_1 = 3$ и $b_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения для стороны $a$:
Если $b = 3$ дм, то $a = 8 - 3 = 5$ дм.
Если $b = 5$ дм, то $a = 8 - 5 = 3$ дм.

В обоих случаях получаем, что стороны прямоугольника равны 3 дм и 5 дм.
Проверка: $P = 2(3+5) = 16$ дм, $S = 3 \cdot 5 = 15$ дм². Все верно.
Ответ: стороны этого прямоугольника равны 3 дм и 5 дм.