Номер 1223, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1223. На заводе сначала работали 2 цеха — первый и второй. Затем был пущен третий цех, в результате чего завод увеличил ежемесячный выпуск продукции в 1,6 раза. Во сколько раз больше продукции дает в месяц третий цех, чем второй, если известно, что за 2 месяца первый и третий цеха вместе выпускают столько продукции, сколько второй за полгода?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие ежемесячную производительность (объем выпускаемой продукции) каждого цеха.
Пусть $x$ – ежемесячная производительность первого цеха.
Пусть $y$ – ежемесячная производительность второго цеха.
Пусть $z$ – ежемесячная производительность третьего цеха.

Изначально, когда работали только первый и второй цеха, общая ежемесячная производительность завода составляла $x + y$. После того как был пущен третий цех, общая производительность стала $x + y + z$. Согласно условию, ежемесячный выпуск продукции увеличился в 1,6 раза. На основе этого составим первое уравнение:
$x + y + z = 1.6 \cdot (x + y)$

Упростим это уравнение, чтобы выразить производительность третьего цеха $z$ через производительности первых двух:
$x + y + z = 1.6x + 1.6y$
$z = 1.6x - x + 1.6y - y$
$z = 0.6x + 0.6y$

Далее, из второго условия известно, что за 2 месяца первый и третий цеха вместе выпускают столько же продукции, сколько второй цех выпускает за полгода (то есть за 6 месяцев). Составим второе уравнение:
$2 \cdot (x + z) = 6 \cdot y$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:
$x + z = 3y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $z = 0.6x + 0.6y$
2) $x + z = 3y$

Основной вопрос задачи — найти, во сколько раз больше продукции дает в месяц третий цех, чем второй. Это означает, что нам нужно найти отношение $\frac{z}{y}$. Для этого необходимо исключить переменную $x$ из системы уравнений. Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = 3y - z$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$z = 0.6 \cdot ((3y - z) + y)$
$z = 0.6 \cdot (4y - z)$
$z = 2.4y - 0.6z$

Перенесем все слагаемые с переменной $z$ в левую часть уравнения, а слагаемые с $y$ оставим в правой:
$z + 0.6z = 2.4y$
$1.6z = 2.4y$

Теперь мы можем найти искомое отношение $\frac{z}{y}$:
$\frac{z}{y} = \frac{2.4}{1.6}$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{z}{y} = \frac{24}{16}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8:
$\frac{z}{y} = \frac{24 \div 8}{16 \div 8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Следовательно, производительность третьего цеха в 1,5 раза больше производительности второго.

Ответ: в 1,5 раза.