Номер 1225, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1225. Найдите два числа, если они находятся в отношении $3:2$ и их:

а) сумма равна 20;

б) разность равна 20;

в) произведение равно 150.

Пусть искомые числа $a$ и $b$ находятся в отношении $3:2$. Это значит, что их можно представить в виде $a = 3k$ и $b = 2k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Используя это представление, решим каждую часть задачи.

а) сумма равна 20;
Согласно условию, сумма чисел равна 20, что можно записать в виде уравнения:
$a + b = 20$
Подставим выражения для $a$ и $b$ через $k$:
$3k + 2k = 20$
Решим полученное уравнение:
$5k = 20$
$k = \frac{20}{5} = 4$
Теперь найдем искомые числа:
$a = 3k = 3 \cdot 4 = 12$
$b = 2k = 2 \cdot 4 = 8$
Проверим: сумма $12 + 8 = 20$, отношение $12:8 = 3:2$. Условия выполнены.
Ответ: 12 и 8.

б) разность равна 20;
Условие "разность равна 20" означает, что модуль разности чисел равен 20, то есть $|a - b| = 20$.
Подставим выражения для $a$ и $b$:
$|3k - 2k| = 20$
$|k| = 20$
Это уравнение имеет два корня: $k = 20$ и $k = -20$.
Рассмотрим оба случая:
1. Если $k = 20$, то числа: $a = 3 \cdot 20 = 60$ и $b = 2 \cdot 20 = 40$. Их разность $60 - 40 = 20$.
2. Если $k = -20$, то числа: $a = 3 \cdot (-20) = -60$ и $b = 2 \cdot (-20) = -40$. Их разность $-40 - (-60) = 20$.
Обе пары чисел удовлетворяют условию.
Ответ: 60 и 40, или -60 и -40.

в) произведение равно 150.
Согласно условию, произведение чисел равно 150:
$a \cdot b = 150$
Подставим выражения для $a$ и $b$:
$(3k) \cdot (2k) = 150$
Решим уравнение:
$6k^2 = 150$
$k^2 = \frac{150}{6} = 25$
$k = \pm\sqrt{25}$, то есть $k = 5$ или $k = -5$.
Это дает нам два возможных набора чисел:
1. При $k = 5$ числа равны: $a = 3 \cdot 5 = 15$ и $b = 2 \cdot 5 = 10$.
2. При $k = -5$ числа равны: $a = 3 \cdot (-5) = -15$ и $b = 2 \cdot (-5) = -10$.
В обоих случаях произведение равно 150, и отношение чисел равно $3:2$.
Ответ: 15 и 10, или -15 и -10.