Номер 1232, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1232. Шесть мальчиков и четыре девочки организовали турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Девочки вместе набрали 40 очков. Кто выиграл больше очков: мальчики у девочек или девочки у мальчиков — и на сколько?

Для решения задачи выполним последовательность вычислений.

1. Найдем общее количество очков, разыгранных в турнире.

В турнире участвуют 6 мальчиков и 4 девочки, всего $6 + 4 = 10$ человек. Каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Общее количество партий равно числу сочетаний из 10 по 2:

$N = C_{10}^2 = \frac{10 \times (10-1)}{2} = \frac{90}{2} = 45$ партий.

За каждую партию присуждается в сумме 2 очка (2 за победу и 0 за проигрыш, либо 1+1 за ничью). Значит, общее количество разыгранных очков в турнире равно:

$45 \times 2 = 90$ очков.

2. Найдем общее количество очков, набранных мальчиками.

Из условия известно, что девочки вместе набрали 40 очков. Поскольку все 90 очков были распределены между участниками, мальчики набрали оставшуюся часть:

Очки мальчиков = $90 - 40 = 50$ очков.

3. Вычислим сумму очков, разыгранных между девочками.

4 девочки играли только между собой. Количество партий между ними:

$C_4^2 = \frac{4 \times (4-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$ партий.

Сумма очков, разыгранных в этих партиях, составляет $6 \times 2 = 12$ очков. Эти очки были распределены только среди девочек.

4. Вычислим сумму очков, разыгранных между мальчиками.

6 мальчиков играли только между собой. Количество партий между ними:

$C_6^2 = \frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ партий.

Сумма очков, разыгранных в этих партиях, составляет $15 \times 2 = 30$ очков. Эти очки были распределены только среди мальчиков.

5. Определим, сколько очков девочки набрали в играх с мальчиками.

Общий счет девочек (40 очков) состоит из очков, полученных в играх против других девочек (12 очков), и очков, полученных в играх против мальчиков. Следовательно, в играх с мальчиками девочки набрали:

$40 - 12 = 28$ очков.

6. Определим, сколько очков мальчики набрали в играх с девочками.

Аналогично, общий счет мальчиков (50 очков) состоит из очков, полученных в играх против других мальчиков (30 очков), и очков, полученных в играх против девочек. Следовательно, в играх с девочками мальчики набрали:

$50 - 30 = 20$ очков.

7. Сравним результаты и дадим ответ на вопрос задачи.

Девочки в играх против мальчиков набрали 28 очков, а мальчики в играх против девочек — 20 очков.

Сравниваем очки: $28 > 20$. Девочки набрали больше очков.

Находим разницу: $28 - 20 = 8$ очков.

Ответ: Девочки выиграли у мальчиков больше очков на 8.