Номер 1235, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1235. Если поезд, идущий из города $A$ в город $B$, уменьшит скорость движения на $10 \text{ км/ч}$, то время, за которое он пройдёт расстояние от города $A$ до города $B$, увеличится на $25 \%$. Определите скорость движения поезда.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v$ — первоначальная скорость поезда в км/ч, которую нам необходимо найти. Пусть $S$ — расстояние от города А до города В, а $t$ — время, которое поезд тратит на этот путь с первоначальной скоростью.

Основная формула, связывающая расстояние, скорость и время, имеет вид: $S = v \cdot t$.

Рассмотрим ситуацию, описанную в условии. Скорость поезда уменьшается на 10 км/ч. Новая скорость поезда будет: $v_{новая} = v - 10$ км/ч.

При этом время в пути увеличивается на 25%. Это означает, что новое время $t_{новое}$ будет на 25% больше первоначального времени $t$. Математически это можно записать так: $t_{новое} = t + 0.25 \cdot t = 1.25t$.

Расстояние $S$ между городами остается неизменным, поэтому для новых условий мы можем записать аналогичное уравнение: $S = v_{новая} \cdot t_{новое}$.

Подставим в это уравнение выражения для новой скорости и нового времени: $S = (v - 10) \cdot (1.25t)$.

Теперь у нас есть два разных выражения для одного и того же расстояния $S$: 1) $S = v \cdot t$ 2) $S = (v - 10) \cdot 1.25t$

Поскольку левые части этих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части: $v \cdot t = (v - 10) \cdot 1.25t$.

Так как время $t$ не может быть равно нулю (поезд находится в пути), мы можем без опасений разделить обе части уравнения на $t$: $v = (v - 10) \cdot 1.25$.

Мы получили линейное уравнение с одной неизвестной $v$. Решим его. Сначала раскроем скобки в правой части: $v = 1.25 \cdot v - 10 \cdot 1.25$ $v = 1.25v - 12.5$.

Теперь сгруппируем все слагаемые с переменной $v$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой. Перенесем $1.25v$ в левую часть: $v - 1.25v = -12.5$ $-0.25v = -12.5$.

Чтобы найти $v$, разделим обе части уравнения на -0.25: $v = \frac{-12.5}{-0.25} = \frac{12.5}{0.25}$.

Выполним деление. Деление на 0.25 эквивалентно умножению на 4: $v = 12.5 \cdot 4 = 50$.

Следовательно, первоначальная скорость движения поезда равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.