Номер 1234, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1234. Несколько учащихся 9А и 9Б классов организовали турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Учащиеся 9А класса вместе набрали 26 очков, а учащиеся 9Б класса, которых было на 3 больше, набрали очков поровну. Сколько было участников турнира?

Для решения задачи введем переменные и последовательно проанализируем все условия.

1. Введение обозначений

Пусть $n_A$ — количество учащихся из 9А класса, участвовавших в турнире.

Пусть $n_B$ — количество учащихся из 9Б класса, участвовавших в турнире.

По условию, учащихся 9Б класса было на 3 больше, чем учащихся 9А:

$n_B = n_A + 3$

Общее количество участников турнира $N$ равно:

$N = n_A + n_B = n_A + (n_A + 3) = 2n_A + 3$

2. Анализ общего количества очков

В турнире каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Это круговая система. Общее количество партий в турнире с $N$ участниками равно числу сочетаний из $N$ по 2:

$G = \binom{N}{2} = \frac{N(N-1)}{2}$

В каждой партии разыгрывается 2 очка (либо 2 очка победителю и 0 проигравшему, либо по 1 очку каждому при ничьей). Следовательно, общее количество очков, набранных всеми участниками турнира, равно:

$S_{общ} = 2 \cdot G = 2 \cdot \frac{N(N-1)}{2} = N(N-1)$

Это общее количество очков складывается из очков, набранных учащимися 9А класса ($S_A$), и очков, набранных учащимися 9Б класса ($S_B$).

$S_{общ} = S_A + S_B$

По условию, $S_A = 26$.

3. Анализ очков внутри и между классами

Общая сумма очков $S_A$, набранная учениками 9А класса, складывается из очков, полученных в играх с одноклассниками ($S_{A \leftrightarrow A}$), и очков, полученных в играх с учениками 9Б класса ($S_{A \leftrightarrow B}$).

Количество очков, разыгранных внутри 9А класса, равно $n_A(n_A-1)$. Эти очки полностью распределяются между учениками 9А. Таким образом, $S_A$ не может быть меньше этой величины.

$S_A \ge n_A(n_A-1)$

$26 \ge n_A(n_A-1)$

Проверим возможные целые значения $n_A \ge 1$:

• Если $n_A = 1$, то $1(0) = 0 \le 26$. Возможно.
• Если $n_A = 2$, то $2(1) = 2 \le 26$. Возможно.
• Если $n_A = 3$, то $3(2) = 6 \le 26$. Возможно.
• Если $n_A = 4$, то $4(3) = 12 \le 26$. Возможно.
• Если $n_A = 5$, то $5(4) = 20 \le 26$. Возможно.
• Если $n_A = 6$, то $6(5) = 30 > 26$. Невозможно.

Таким образом, количество учеников из 9А класса может быть $1, 2, 3, 4$ или $5$.

4. Использование условия о равенстве очков учащихся 9Б класса

Сумма очков $S_B$, набранная учениками 9Б класса, складывается из очков в играх с одноклассниками ($S_{B \leftrightarrow B}$) и очков в играх с учениками 9А класса ($S_{B \leftrightarrow A}$).

$S_B = S_{B \leftrightarrow B} + S_{B \leftrightarrow A}$

Сумма очков, разыгранных внутри 9Б класса, равна $S_{B \leftrightarrow B} = n_B(n_B-1)$.

По условию, все ученики 9Б класса набрали очков поровну. Пусть каждый из них набрал $k$ очков. Тогда общая сумма очков учеников 9Б класса $S_B = k \cdot n_B$. Это означает, что $S_B$ должно делиться на $n_B$ без остатка.

Так как $S_B = n_B(n_B-1) + S_{B \leftrightarrow A}$ и $n_B(n_B-1)$ делится на $n_B$, то для делимости $S_B$ на $n_B$ необходимо, чтобы $S_{B \leftrightarrow A}$ (очки, набранные учениками 9Б в играх против 9А) также делилось на $n_B$.

Найдем $S_{B \leftrightarrow A}$. Общее число партий между учениками двух классов равно $n_A \cdot n_B$. Общее число очков, разыгранных в этих партиях, равно $2 \cdot n_A \cdot n_B$. Эти очки делятся между учениками 9А и 9Б:

$S_{A \leftrightarrow B} + S_{B \leftrightarrow A} = 2n_A n_B$

Из анализа очков 9А класса мы знаем, что $S_A = S_{A \leftrightarrow A} + S_{A \leftrightarrow B}$, то есть $26 = n_A(n_A-1) + S_{A \leftrightarrow B}$.

Отсюда $S_{A \leftrightarrow B} = 26 - n_A(n_A-1)$.

Тогда $S_{B \leftrightarrow A} = 2n_A n_B - S_{A \leftrightarrow B} = 2n_A n_B - (26 - n_A(n_A-1))$.

Подставим $n_B = n_A + 3$:

$S_{B \leftrightarrow A} = 2n_A(n_A+3) - 26 + n_A(n_A-1) = 2n_A^2 + 6n_A - 26 + n_A^2 - n_A = 3n_A^2 + 5n_A - 26$

Это выражение должно делиться на $n_B = n_A+3$. Используем деление многочленов (или теорему о остатке). Остаток от деления многочлена $P(x) = 3x^2+5x-26$ на $x+3$ равен $P(-3)$:

$P(-3) = 3(-3)^2 + 5(-3) - 26 = 3(9) - 15 - 26 = 27 - 41 = -14$

Это означает, что $3n_A^2 + 5n_A - 26 = Q(n_A) \cdot (n_A+3) - 14$, где $Q(n_A)$ — частное. Чтобы $S_{B \leftrightarrow A}$ делилось на $n_A+3$, необходимо, чтобы остаток $-14$ делился на $n_A+3$.

Следовательно, $n_A+3$ должно быть делителем числа 14. Делители 14: $1, 2, 7, 14$.

Поскольку $n_A \ge 1$, то $n_A+3 \ge 4$. Значит, возможные значения для $n_A+3$ — это 7 и 14.

• Если $n_A+3 = 7$, то $n_A=4$.
• Если $n_A+3 = 14$, то $n_A=11$.

Вспомним ограничение из пункта 3: $n_A \le 5$. Этому условию удовлетворяет только $n_A=4$.

5. Определение количества участников и проверка

Итак, единственно возможный вариант — это $n_A=4$.

Тогда количество учеников из 9Б класса: $n_B = n_A+3 = 4+3=7$.

Общее количество участников турнира: $N = n_A+n_B = 4+7=11$.

Проверим, выполняются ли все условия задачи:

• Общее число очков в турнире: $S_{общ} = N(N-1) = 11 \cdot 10 = 110$ очков.
• Очки 9А класса: $S_A = 26$ (по условию).
• Очки 9Б класса: $S_B = S_{общ} - S_A = 110 - 26 = 84$ очка.
• В 9Б классе 7 учеников. Очков на каждого: $84 / 7 = 12$. Так как 12 — целое число, условие о том, что ученики 9Б набрали очков поровну, выполняется.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: В турнире было 11 участников.