Номер 1230, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1230. Задача Бхаскары (Индия, XII в.).

Корень квадратный из половины пчелиного роя полетел к кусту жасмина. Восемь девятых роя осталось дома. Одна пчёлка полетела за трутнем, обеспокоенная его жужжанием в цветке лотоса, куда он попал вечером, привлечённый приятным ароматом, и не мог оттуда выбраться, так как цветок закрылся. Скажи мне число пчёл роя.

Решение задачи:

Это классическая задача, которая решается с помощью составления уравнения. Обозначим общее число пчёл в рое за $x$.

Согласно условию, рой разделился на три группы:

• Первая группа — пчёлы, полетевшие к кусту жасмина. Их число равно квадратному корню из половины всего роя: $ \sqrt{\frac{x}{2}} $.
• Вторая группа — пчёлы, оставшиеся дома. Их число составляет восемь девятых роя: $ \frac{8}{9}x $.
• Третья группа — «одна пчёлка полетела за трутнем». В классических интерпретациях этой задачи предполагается, что и пчёлка, и трутень, за которым она полетела, являются членами роя. Таким образом, эта группа состоит из 2-х пчёл.

Сумма всех этих групп должна быть равна общему числу пчёл в рое. Составим уравнение:

$ \sqrt{\frac{x}{2}} + \frac{8}{9}x + 2 = x $

Теперь решим это уравнение. Сначала выразим член с корнем:

$ \sqrt{\frac{x}{2}} = x - \frac{8}{9}x - 2 $

$ \sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{1}{9}x - 2 $

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{\frac{x}{2}})^2 = (\frac{1}{9}x - 2)^2 $

$ \frac{x}{2} = (\frac{1}{9}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{9}x) \cdot 2 + 2^2 $

$ \frac{x}{2} = \frac{1}{81}x^2 - \frac{4}{9}x + 4 $

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$ \frac{1}{81}x^2 - \frac{4}{9}x - \frac{1}{2}x + 4 = 0 $

Приведём дроби с $x$ к общему знаменателю:

$ \frac{1}{81}x^2 - (\frac{8}{18}x + \frac{9}{18}x) + 4 = 0 $

$ \frac{1}{81}x^2 - \frac{17}{18}x + 4 = 0 $

Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 81 и 18, то есть на 162:

$ 162 \cdot (\frac{1}{81}x^2) - 162 \cdot (\frac{17}{18}x) + 162 \cdot 4 = 0 $

$ 2x^2 - 9 \cdot 17x + 648 = 0 $

$ 2x^2 - 153x + 648 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-153)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 648 = 23409 - 5184 = 18225 $

Найдём корень из дискриминанта: $ \sqrt{18225} = 135 $.

Теперь найдём корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{153 + 135}{2 \cdot 2} = \frac{288}{4} = 72 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{153 - 135}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4.5 $

Число пчёл не может быть дробным, поэтому корень $x_2 = 4.5$ не подходит по смыслу задачи. Кроме того, необходимо проверить, не является ли первый корень посторонним, подставив его в уравнение до возведения в квадрат: $ \sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{1}{9}x - 2 $. Правая часть должна быть неотрицательной.

Проверим $x_1 = 72$:

$ \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6 $

$ \frac{1}{9}(72) - 2 = 8 - 2 = 6 $

$ 6 = 6 $. Равенство верно, корень подходит.

Таким образом, общее число пчёл в рое равно 72.

Ответ: 72 пчелы.