Страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1225. Найдите два числа, если они находятся в отношении $3:2$ и их:

а) сумма равна 20;

б) разность равна 20;

в) произведение равно 150.

Пусть искомые числа $a$ и $b$ находятся в отношении $3:2$. Это значит, что их можно представить в виде $a = 3k$ и $b = 2k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Используя это представление, решим каждую часть задачи.

а) сумма равна 20;
Согласно условию, сумма чисел равна 20, что можно записать в виде уравнения:
$a + b = 20$
Подставим выражения для $a$ и $b$ через $k$:
$3k + 2k = 20$
Решим полученное уравнение:
$5k = 20$
$k = \frac{20}{5} = 4$
Теперь найдем искомые числа:
$a = 3k = 3 \cdot 4 = 12$
$b = 2k = 2 \cdot 4 = 8$
Проверим: сумма $12 + 8 = 20$, отношение $12:8 = 3:2$. Условия выполнены.
Ответ: 12 и 8.

б) разность равна 20;
Условие "разность равна 20" означает, что модуль разности чисел равен 20, то есть $|a - b| = 20$.
Подставим выражения для $a$ и $b$:
$|3k - 2k| = 20$
$|k| = 20$
Это уравнение имеет два корня: $k = 20$ и $k = -20$.
Рассмотрим оба случая:
1. Если $k = 20$, то числа: $a = 3 \cdot 20 = 60$ и $b = 2 \cdot 20 = 40$. Их разность $60 - 40 = 20$.
2. Если $k = -20$, то числа: $a = 3 \cdot (-20) = -60$ и $b = 2 \cdot (-20) = -40$. Их разность $-40 - (-60) = 20$.
Обе пары чисел удовлетворяют условию.
Ответ: 60 и 40, или -60 и -40.

в) произведение равно 150.
Согласно условию, произведение чисел равно 150:
$a \cdot b = 150$
Подставим выражения для $a$ и $b$:
$(3k) \cdot (2k) = 150$
Решим уравнение:
$6k^2 = 150$
$k^2 = \frac{150}{6} = 25$
$k = \pm\sqrt{25}$, то есть $k = 5$ или $k = -5$.
Это дает нам два возможных набора чисел:
1. При $k = 5$ числа равны: $a = 3 \cdot 5 = 15$ и $b = 2 \cdot 5 = 10$.
2. При $k = -5$ числа равны: $a = 3 \cdot (-5) = -15$ и $b = 2 \cdot (-5) = -10$.
В обоих случаях произведение равно 150, и отношение чисел равно $3:2$.
Ответ: 15 и 10, или -15 и -10.

1226. Периметр прямоугольника равен $16 \text{ дм}$, а его площадь равна $15 \text{ дм}^2$. Определите стороны этого прямоугольника.

Пусть длина одной стороны прямоугольника будет $a$ дм, а другой — $b$ дм.

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$.
Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

По условиям задачи нам даны периметр $P = 16$ дм и площадь $S = 15$ дм². Составим систему уравнений:
$2(a + b) = 16$
$a \cdot b = 15$

Из первого уравнения найдем сумму сторон $a$ и $b$:
$a + b = 16 / 2$
$a + b = 8$

Теперь наша система выглядит так:
$a + b = 8$
$a \cdot b = 15$

Можно решить эту систему методом подстановки. Выразим $a$ из первого уравнения:
$a = 8 - b$

Подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:
$(8 - b) \cdot b = 15$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:
$8b - b^2 = 15$
$-b^2 + 8b - 15 = 0$
$b^2 - 8b + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 8, а произведение равно 15. Эти числа — 3 и 5.
Следовательно, корни уравнения: $b_1 = 3$ и $b_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения для стороны $a$:
Если $b = 3$ дм, то $a = 8 - 3 = 5$ дм.
Если $b = 5$ дм, то $a = 8 - 5 = 3$ дм.

В обоих случаях получаем, что стороны прямоугольника равны 3 дм и 5 дм.
Проверка: $P = 2(3+5) = 16$ дм, $S = 3 \cdot 5 = 15$ дм². Все верно.
Ответ: стороны этого прямоугольника равны 3 дм и 5 дм.

1227. Квадрат меньшего из двух натуральных чисел равен их сумме, а разность этих чисел равна 15. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух натуральных чисел равно $y$, а большее — $x$. Согласно условию задачи, $x$ и $y$ являются натуральными числами ($x, y \in \mathbb{N}$) и $x > y$.

На основе условий задачи составим систему уравнений:

1. Квадрат меньшего числа равен их сумме: $y^2 = x + y$.
2. Разность этих чисел равна 15: $x - y = 15$.

Таким образом, мы имеем систему:

$$\begin{cases}y^2 = x + y \\x - y = 15\end{cases}$$

Выразим переменную $x$ из второго уравнения:

$x = y + 15$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$y^2 = (y + 15) + y$

Упростим полученное уравнение:

$y^2 = 2y + 15$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ay^2 + by + c = 0$:

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение, найдя его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Поскольку дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

По условию задачи, числа должны быть натуральными. Корень $y_1 = -3$ не является натуральным числом, поэтому он нам не подходит. Корень $y_2 = 5$ является натуральным числом, следовательно, это и есть меньшее из искомых чисел.

Теперь найдем большее число $x$, подставив значение $y = 5$ в выражение $x = y + 15$:

$x = 5 + 15 = 20$

Итак, мы нашли два числа: 5 и 20.

Проведем проверку:

• Оба числа (5 и 20) являются натуральными.
• Квадрат меньшего числа: $5^2 = 25$. Сумма чисел: $5 + 20 = 25$. Условие $25=25$ выполняется.
• Разность чисел: $20 - 5 = 15$. Условие выполняется.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: 5 и 20.

1228. Задача Бега-Эддина (Иран, XVI в.). Заиду обещана награда в виде большей из двух частей, дающих в сумме 20, произведение же этих частей 96. Как велика награда?

Для решения задачи обозначим две искомые части переменными $x$ и $y$. Согласно условию, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма частей равна 20: $x + y = 20$

2. Произведение частей равно 96: $x \cdot y = 96$

Награда обещана в виде большей из этих двух частей, то есть $\max(x, y)$.

Для решения системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 20 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$x(20 - x) = 96$

Раскроем скобки:

$20x - x^2 = 96$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 20x + 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, мы нашли две части: это числа 12 и 8.

Проверим, соответствуют ли найденные числа условиям задачи:

Их сумма: $12 + 8 = 20$. Это верно.

Их произведение: $12 \cdot 8 = 96$. Это также верно.

По условию, награда равна большей из двух частей. Сравнивая 12 и 8, мы видим, что большей частью является 12.

Ответ: 12

Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя. Ветер отклонил его и погрузил в воду таким образом, что его вершина стала находиться на поверхности воды, а основание не изменило своего положения. Расстояние между первоначальным местом его появления и местом его исчезновения в воде — 5 локтей. Мы хотим узнать длину копья.

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим подходом. Пусть полная длина копья будет $L$, а глубина воды — $h$.

В начальном положении копьё стоит вертикально, и его часть над водой составляет 3 локтя. Это означает, что общая длина копья $L$ складывается из подводной части $h$ и надводной части: $L = h + 3$. Из этого соотношения мы можем выразить глубину воды через длину копья: $h = L - 3$.

Когда ветер наклоняет копьё, его основание остаётся на дне, а вершина касается поверхности воды. В этом положении копьё, глубина воды и расстояние по поверхности воды образуют прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:
• гипотенуза — это само копьё, её длина равна $L$;
• один катет — это глубина воды, его длина равна $h$;
• второй катет — это расстояние по поверхности воды от точки, где копьё изначально выходило из воды, до точки, где его вершина коснулась воды. По условию, эта длина равна 5 локтей.

Применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $h^2 + 5^2 = L^2$.

Теперь подставим в это уравнение выражение для $h$, которое мы вывели ранее: $h = L - 3$. $(L - 3)^2 + 5^2 = L^2$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $L^2 - 2 \cdot L \cdot 3 + 3^2 + 25 = L^2$ $L^2 - 6L + 9 + 25 = L^2$ $L^2 - 6L + 34 = L^2$.

Вычтем $L^2$ из обеих частей уравнения, чтобы упростить его: $-6L + 34 = 0$.

Отсюда находим значение $L$: $6L = 34$ $L = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}$.

Длина копья составляет $\frac{17}{3}$ локтя. Для удобства можно перевести эту неправильную дробь в смешанное число: $L = 5\frac{2}{3}$ локтя.

Ответ: Длина копья равна $5\frac{2}{3}$ локтя.

1230. Задача Бхаскары (Индия, XII в.).

Корень квадратный из половины пчелиного роя полетел к кусту жасмина. Восемь девятых роя осталось дома. Одна пчёлка полетела за трутнем, обеспокоенная его жужжанием в цветке лотоса, куда он попал вечером, привлечённый приятным ароматом, и не мог оттуда выбраться, так как цветок закрылся. Скажи мне число пчёл роя.

Решение задачи:

Это классическая задача, которая решается с помощью составления уравнения. Обозначим общее число пчёл в рое за $x$.

Согласно условию, рой разделился на три группы:

• Первая группа — пчёлы, полетевшие к кусту жасмина. Их число равно квадратному корню из половины всего роя: $ \sqrt{\frac{x}{2}} $.
• Вторая группа — пчёлы, оставшиеся дома. Их число составляет восемь девятых роя: $ \frac{8}{9}x $.
• Третья группа — «одна пчёлка полетела за трутнем». В классических интерпретациях этой задачи предполагается, что и пчёлка, и трутень, за которым она полетела, являются членами роя. Таким образом, эта группа состоит из 2-х пчёл.

Сумма всех этих групп должна быть равна общему числу пчёл в рое. Составим уравнение:

$ \sqrt{\frac{x}{2}} + \frac{8}{9}x + 2 = x $

Теперь решим это уравнение. Сначала выразим член с корнем:

$ \sqrt{\frac{x}{2}} = x - \frac{8}{9}x - 2 $

$ \sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{1}{9}x - 2 $

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{\frac{x}{2}})^2 = (\frac{1}{9}x - 2)^2 $

$ \frac{x}{2} = (\frac{1}{9}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{9}x) \cdot 2 + 2^2 $

$ \frac{x}{2} = \frac{1}{81}x^2 - \frac{4}{9}x + 4 $

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$ \frac{1}{81}x^2 - \frac{4}{9}x - \frac{1}{2}x + 4 = 0 $

Приведём дроби с $x$ к общему знаменателю:

$ \frac{1}{81}x^2 - (\frac{8}{18}x + \frac{9}{18}x) + 4 = 0 $

$ \frac{1}{81}x^2 - \frac{17}{18}x + 4 = 0 $

Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 81 и 18, то есть на 162:

$ 162 \cdot (\frac{1}{81}x^2) - 162 \cdot (\frac{17}{18}x) + 162 \cdot 4 = 0 $

$ 2x^2 - 9 \cdot 17x + 648 = 0 $

$ 2x^2 - 153x + 648 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-153)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 648 = 23409 - 5184 = 18225 $

Найдём корень из дискриминанта: $ \sqrt{18225} = 135 $.

Теперь найдём корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{153 + 135}{2 \cdot 2} = \frac{288}{4} = 72 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{153 - 135}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4.5 $

Число пчёл не может быть дробным, поэтому корень $x_2 = 4.5$ не подходит по смыслу задачи. Кроме того, необходимо проверить, не является ли первый корень посторонним, подставив его в уравнение до возведения в квадрат: $ \sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{1}{9}x - 2 $. Правая часть должна быть неотрицательной.

Проверим $x_1 = 72$:

$ \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6 $

$ \frac{1}{9}(72) - 2 = 8 - 2 = 6 $

$ 6 = 6 $. Равенство верно, корень подходит.

Таким образом, общее число пчёл в рое равно 72.

Ответ: 72 пчелы.

1231. Несколько одноклассников организовали турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии, а всего было сыграно 28 партий. Сколько было участников турнира?

Пусть $n$ — это количество участников турнира.

По условию задачи, каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Это означает, что общее количество сыгранных партий равно числу всех возможных пар участников. Такое количество пар является числом сочетаний из $n$ элементов по 2 и вычисляется по формуле:

$K = \frac{n(n-1)}{2}$

где $K$ — общее количество партий.

Нам известно, что всего было сыграно 28 партий ($K=28$). Подставим это значение в формулу и получим уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 28$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 56$

Это уравнение можно решить двумя способами.

Первый способ — логический подбор. Нам нужно найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 56. Перебирая пары чисел, легко найти, что $8 \times 7 = 56$. Следовательно, большее из этих чисел, $n$, равно 8.

Второй способ — решение квадратного уравнения. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$n^2 - n = 56$

$n^2 - n - 56 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Теперь найдем корни:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Поскольку количество участников турнира не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -7$ не является решением задачи. Таким образом, в турнире было 8 участников.

Ответ: 8.

1232. Шесть мальчиков и четыре девочки организовали турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Девочки вместе набрали 40 очков. Кто выиграл больше очков: мальчики у девочек или девочки у мальчиков — и на сколько?

Для решения задачи выполним последовательность вычислений.

1. Найдем общее количество очков, разыгранных в турнире.

В турнире участвуют 6 мальчиков и 4 девочки, всего $6 + 4 = 10$ человек. Каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Общее количество партий равно числу сочетаний из 10 по 2:

$N = C_{10}^2 = \frac{10 \times (10-1)}{2} = \frac{90}{2} = 45$ партий.

За каждую партию присуждается в сумме 2 очка (2 за победу и 0 за проигрыш, либо 1+1 за ничью). Значит, общее количество разыгранных очков в турнире равно:

$45 \times 2 = 90$ очков.

2. Найдем общее количество очков, набранных мальчиками.

Из условия известно, что девочки вместе набрали 40 очков. Поскольку все 90 очков были распределены между участниками, мальчики набрали оставшуюся часть:

Очки мальчиков = $90 - 40 = 50$ очков.

3. Вычислим сумму очков, разыгранных между девочками.

4 девочки играли только между собой. Количество партий между ними:

$C_4^2 = \frac{4 \times (4-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$ партий.

Сумма очков, разыгранных в этих партиях, составляет $6 \times 2 = 12$ очков. Эти очки были распределены только среди девочек.

4. Вычислим сумму очков, разыгранных между мальчиками.

6 мальчиков играли только между собой. Количество партий между ними:

$C_6^2 = \frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ партий.

Сумма очков, разыгранных в этих партиях, составляет $15 \times 2 = 30$ очков. Эти очки были распределены только среди мальчиков.

5. Определим, сколько очков девочки набрали в играх с мальчиками.

Общий счет девочек (40 очков) состоит из очков, полученных в играх против других девочек (12 очков), и очков, полученных в играх против мальчиков. Следовательно, в играх с мальчиками девочки набрали:

$40 - 12 = 28$ очков.

6. Определим, сколько очков мальчики набрали в играх с девочками.

Аналогично, общий счет мальчиков (50 очков) состоит из очков, полученных в играх против других мальчиков (30 очков), и очков, полученных в играх против девочек. Следовательно, в играх с девочками мальчики набрали:

$50 - 30 = 20$ очков.

7. Сравним результаты и дадим ответ на вопрос задачи.

Девочки в играх против мальчиков набрали 28 очков, а мальчики в играх против девочек — 20 очков.

Сравниваем очки: $28 > 20$. Девочки набрали больше очков.

Находим разницу: $28 - 20 = 8$ очков.

Ответ: Девочки выиграли у мальчиков больше очков на 8.

1233. В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым по две партии. За выигрыш в партии присуждали 1 очко, за ничью — $ \frac{1}{2} $ очка, за проигрыш — 0 очков. Три лучших игрока набрали вместе 24 очка, что составило половину от числа очков остальных участников, вместе взятых. Сколько было участников турнира?

Для решения задачи сначала найдем общее количество очков, разыгранных в турнире. Пусть $S_{ост}$ — это сумма очков, набранных остальными участниками (всеми, кроме трех лучших). По условию, три лучших игрока набрали 24 очка, и это составляет половину от очков остальных участников. Математически это можно записать так:

$24 = \frac{1}{2} \cdot S_{ост}$

Отсюда находим, что остальные участники набрали:

$S_{ост} = 24 \cdot 2 = 48$ очков.

Теперь мы можем вычислить общее количество очков $S_{общ}$, набранных всеми участниками турнира, сложив очки трех лучших и очки остальных:

$S_{общ} = 24 + 48 = 72$ очка.

Важным моментом является то, что в каждой шахматной партии, независимо от ее исхода, суммарно разыгрывается 1 очко (либо 1 очко победителю и 0 проигравшему, либо по $\frac{1}{2}$ очка каждому в случае ничьей). Это означает, что общее количество сыгранных партий в турнире равно общему количеству набранных очков. Таким образом, всего было сыграно 72 партии.

Теперь найдем связь между количеством участников и количеством партий. Пусть $N$ — общее число участников турнира. Каждый участник играет с каждым другим. Число пар участников можно найти по формуле сочетаний: $C_N^2 = \frac{N(N-1)}{2}$. Поскольку по условию каждый участник сыграл с каждым по две партии (один раз белыми, один раз черными), общее количество партий в турнире вычисляется как:

Количество партий $= 2 \cdot \frac{N(N-1)}{2} = N(N-1)$.

Мы уже знаем, что всего было сыграно 72 партии. Приравниваем эти значения и получаем уравнение:

$N(N-1) = 72$

Это квадратное уравнение $N^2 - N - 72 = 0$. Его можно решить через дискриминант или заметить, что 72 является произведением двух последовательных целых чисел: $9 \cdot 8 = 72$. Следовательно, $N=9$.

Проверим формальным решением квадратного уравнения:

$N = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2}$

Уравнение имеет два корня: $N_1 = \frac{1+17}{2} = 9$ и $N_2 = \frac{1-17}{2} = -8$. Так как количество участников не может быть отрицательным, единственным верным решением является $N=9$.

Ответ: 9 участников.