Страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1258. Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать шоссе за 18 рабочих дней. Если первая бригада, работая одна, выполнит $\frac{2}{3}$ всей работы, а вторая бригада — оставшуюся часть, то на ремонт шоссе понадобится 40 дней. За сколько дней каждая бригада, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество дней, за которое первая бригада может выполнить всю работу, работая самостоятельно, а $y$ — количество дней, за которое вторая бригада выполнит всю работу, работая самостоятельно.

Тогда производительность (часть работы, выполняемая за один день) первой бригады равна $\frac{1}{x}$, а производительность второй бригады — $\frac{1}{y}$. Всю работу примем за 1.

Из первого условия известно, что две бригады, работая вместе, могут отремонтировать шоссе за 18 рабочих дней. Их совместная производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$18 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1$

Отсюда получаем:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{18}$

Из второго условия известно, что если первая бригада выполнит $\frac{2}{3}$ всей работы, а вторая — оставшуюся часть, то на весь ремонт понадобится 40 дней.

Время, которое первая бригада затратит на выполнение $\frac{2}{3}$ работы, равно:$t_1 = \frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{2/3}{1/x} = \frac{2x}{3}$ дней.

Вторая бригада выполнит оставшуюся часть работы, которая составляет $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Время, которое вторая бригада затратит на выполнение $\frac{1}{3}$ работы, равно:$t_2 = \frac{1/3}{1/y} = \frac{y}{3}$ дней.

Общее время работы составляет 40 дней, поэтому:$t_1 + t_2 = 40$

$\frac{2x}{3} + \frac{y}{3} = 40$

Умножим обе части этого уравнения на 3, чтобы упростить его:$2x + y = 120$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{18} \\ 2x + y = 120 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:$y = 120 - 2x$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{120 - 2x} = \frac{1}{18}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{120 - 2x + x}{x(120 - 2x)} = \frac{1}{18}$

$\frac{120 - x}{120x - 2x^2} = \frac{1}{18}$

Используя свойство пропорции, получим:

$18(120 - x) = 120x - 2x^2$

$2160 - 18x = 120x - 2x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 120x - 18x + 2160 = 0$

$2x^2 - 138x + 2160 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$x^2 - 69x + 1080 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-69)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1080 = 4761 - 4320 = 441$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{69 + 21}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{69 - 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Оба корня являются положительными числами, поэтому оба могут быть решением. Найдем соответствующие значения для $y$ для каждого случая, используя формулу $y = 120 - 2x$.

1. Если $x_1 = 45$, то $y_1 = 120 - 2 \cdot 45 = 120 - 90 = 30$.

2. Если $x_2 = 24$, то $y_2 = 120 - 2 \cdot 24 = 120 - 48 = 72$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: существует два варианта: первая бригада может выполнить всю работу за 45 дней, а вторая — за 30 дней; либо первая бригада может выполнить работу за 24 дня, а вторая — за 72 дня.

1259. Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют бассейн за 4 ч. Для наполнения бассейна наполовину первому насосу требуется время на 4 ч больше, чем второму насосу для наполнения бассейна на три четверти. За какое время может наполнить бассейн каждый из насосов в отдельности?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_1$ — это время в часах, за которое первый насос может наполнить весь бассейн, работая в одиночку, а $t_2$ — время в часах для второго насоса.

Производительность (или мощность) первого насоса составляет $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть бассейна в час), а производительность второго насоса — $P_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть бассейна в час).

Из первого условия задачи известно, что, работая вместе, два насоса наполняют бассейн за 4 часа. Их совместная производительность равна $P_1 + P_2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$(P_1 + P_2) \cdot 4 = 1$

Подставив выражения для производительностей, получим:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 4 = 1$

Отсюда следует первое уравнение системы:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}$

Из второго условия задачи известно, что для наполнения половины бассейна ($1/2$ объема) первому насосу требуется на 4 часа больше, чем второму насосу для наполнения бассейна на три четверти ($3/4$ объема).

Время, которое требуется первому насосу для наполнения половины бассейна, равно $T_1 = \frac{1/2 \text{ объема}}{P_1} = \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$ часа.

Время, которое требуется второму насосу для наполнения трех четвертей бассейна, равно $T_2 = \frac{3/4 \text{ объема}}{P_2} = \frac{3/4}{1/t_2} = \frac{3}{4}t_2$ часа.

По условию $T_1 = T_2 + 4$. Составляем второе уравнение системы:

$\frac{t_1}{2} = \frac{3}{4}t_2 + 4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \\ \frac{t_1}{2} = \frac{3}{4}t_2 + 4 \end{cases} $$

Выразим $t_1$ из второго уравнения. Для этого сначала умножим его на 4, чтобы избавиться от дробей:

$2t_1 = 3t_2 + 16$

$t_1 = \frac{3t_2 + 16}{2}$

Подставим это выражение для $t_1$ в первое уравнение:

$\frac{1}{\frac{3t_2 + 16}{2}} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}$

$\frac{2}{3t_2 + 16} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_2(3t_2 + 16)$:

$\frac{2t_2 + (3t_2 + 16)}{t_2(3t_2 + 16)} = \frac{1}{4}$

$\frac{5t_2 + 16}{3t_2^2 + 16t_2} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$4(5t_2 + 16) = 1(3t_2^2 + 16t_2)$

$20t_2 + 64 = 3t_2^2 + 16t_2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3t_2^2 - 4t_2 - 64 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-64) = 16 + 768 = 784$

$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни для $t_2$:

$t_{2,1} = \frac{4 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

$t_{2,2} = \frac{4 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$

Так как время не может быть отрицательным, корень $t_{2,2} = -4$ не подходит по смыслу задачи. Значит, время работы второго насоса $t_2 = \frac{16}{3}$ часа.

$\frac{16}{3}$ часа = $5 \frac{1}{3}$ часа = 5 часов и $\frac{1}{3} \cdot 60$ минут = 5 часов 20 минут.

Теперь найдем время работы первого насоса $t_1$, подставив значение $t_2$ в ранее полученное выражение:

$t_1 = \frac{3t_2 + 16}{2} = \frac{3 \cdot (\frac{16}{3}) + 16}{2} = \frac{16 + 16}{2} = \frac{32}{2} = 16$ часов.

Таким образом, первый насос наполняет бассейн за 16 часов, а второй — за $5 \frac{1}{3}$ часа.

Ответ: первый насос может наполнить бассейн за 16 часов, второй насос — за $5 \frac{1}{3}$ часа (что составляет 5 часов 20 минут).

1260. Путь из села в город идёт сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно — 2,5 ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

Обозначим скорость велосипедиста в гору как $v_1$ км/ч, а скорость с горы — как $v_2$ км/ч.

Путь из села в город состоит из двух участков: 15 км в гору и 6 км с горы. Общее время в пути составило 3,1 часа. Используя формулу времени $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость, можем составить первое уравнение:

$\frac{15}{v_1} + \frac{6}{v_2} = 3,1$

На обратном пути из города в село участки меняются ролями: 6 км пути становятся подъемом (в гору), а 15 км — спуском (с горы). Общее время на обратный путь составляет 2,5 часа. Составим второе уравнение:

$\frac{6}{v_1} + \frac{15}{v_2} = 2,5$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{15}{v_1} + \frac{6}{v_2} = 3,1 \\ \frac{6}{v_1} + \frac{15}{v_2} = 2,5 \end{cases}$

Для удобства решения введем замену переменных: пусть $x = \frac{1}{v_1}$ и $y = \frac{1}{v_2}$. Тогда система уравнений примет вид:

$\begin{cases} 15x + 6y = 3,1 \\ 6x + 15y = 2,5 \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:

$\begin{cases} 5 \cdot (15x + 6y) = 3,1 \cdot 5 \\ -2 \cdot (6x + 15y) = 2,5 \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 75x + 30y = 15,5 \\ -12x - 30y = -5 \end{cases}$

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(75x - 12x) + (30y - 30y) = 15,5 - 5$

$63x = 10,5$

$x = \frac{10,5}{63} = \frac{105}{630} = \frac{1}{6}$

Подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, во второе ($6x + 15y = 2,5$):

$6 \cdot (\frac{1}{6}) + 15y = 2,5$

$1 + 15y = 2,5$

$15y = 2,5 - 1$

$15y = 1,5$

$y = \frac{1,5}{15} = \frac{1}{10}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти искомые скорости:

Скорость в гору: $v_1 = \frac{1}{x} = \frac{1}{1/6} = 6$ км/ч.

Скорость с горы: $v_2 = \frac{1}{y} = \frac{1}{1/10} = 10$ км/ч.

Проверим полученные значения. Время из села в город: $\frac{15}{6} + \frac{6}{10} = 2,5 + 0,6 = 3,1$ часа. Время из города в село: $\frac{6}{6} + \frac{15}{10} = 1 + 1,5 = 2,5$ часа. Решение верное.

Ответ: скорость велосипедиста в гору — 6 км/ч, скорость с горы — 10 км/ч.

1261. Теплоход за 10 ч может пройти 110 км по течению и 70 км против течения реки или 88 км по течению и 84 км против течения реки. Определите скорость теплохода относительно воды и скорость течения реки.

Пусть $v_т$ — скорость теплохода относительно воды (собственная скорость) в км/ч, а $v_р$ — скорость течения реки в км/ч.

Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $v_{по} = v_т + v_р$ км/ч, а скорость против течения реки — $v_{против} = v_т - v_р$ км/ч.

Время движения находится по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Исходя из условий задачи, можно составить систему уравнений, так как в обоих случаях общее время в пути составляет 10 часов.

Первое условие: 110 км по течению и 70 км против течения за 10 часов.
Уравнение 1: $ \frac{110}{v_т + v_р} + \frac{70}{v_т - v_р} = 10 $

Второе условие: 88 км по течению и 84 км против течения за 10 часов.
Уравнение 2: $ \frac{88}{v_т + v_р} + \frac{84}{v_т - v_р} = 10 $

Для решения системы введем новые переменные: пусть $x = v_т + v_р$ и $y = v_т - v_р$. Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} \frac{110}{x} + \frac{70}{y} = 10 \\ \frac{88}{x} + \frac{84}{y} = 10 \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5, чтобы уравнять коэффициенты при переменной $1/x$:
$4 \cdot (\frac{110}{x} + \frac{70}{y}) = 4 \cdot 10 \implies \frac{440}{x} + \frac{280}{y} = 40$
$5 \cdot (\frac{88}{x} + \frac{84}{y}) = 5 \cdot 10 \implies \frac{440}{x} + \frac{420}{y} = 50$

Теперь вычтем из второго полученного уравнения первое:
$(\frac{440}{x} + \frac{420}{y}) - (\frac{440}{x} + \frac{280}{y}) = 50 - 40$
$\frac{140}{y} = 10$
$y = 14$

Подставим значение $y=14$ в первое исходное уравнение системы $\frac{110}{x} + \frac{70}{y} = 10$:
$\frac{110}{x} + \frac{70}{14} = 10$
$\frac{110}{x} + 5 = 10$
$\frac{110}{x} = 5$
$x = \frac{110}{5} = 22$

Мы нашли скорости по течению и против течения:
Скорость по течению: $x = v_т + v_р = 22$ км/ч.
Скорость против течения: $y = v_т - v_р = 14$ км/ч.

Теперь решим систему для нахождения $v_т$ и $v_р$: $$ \begin{cases} v_т + v_р = 22 \\ v_т - v_р = 14 \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим:
$2v_т = 36 \implies v_т = 18$ км/ч.
Подставив значение $v_т$ в первое уравнение, найдем $v_р$:
$18 + v_р = 22 \implies v_р = 4$ км/ч.

Проверим найденные значения:
1. $\frac{110}{22} + \frac{70}{14} = 5 + 5 = 10$ часов.
2. $\frac{88}{22} + \frac{84}{14} = 4 + 6 = 10$ часов.
Оба условия выполняются.

Ответ: скорость теплохода относительно воды составляет 18 км/ч, а скорость течения реки — 4 км/ч.

1262. Бригада лесорубов должна была в несколько дней по плану заготовить $216\text{ м}^3$ дров. Первые 3 дня бригада работала по плану, а затем каждый день заготовляла на $8\text{ м}^3$ дров больше плана. В результате уже за день до срока было заготовлено $232\text{ м}^3$ дров. Сколько кубометров должна была заготовлять бригада в день по плану?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ м³ — это количество дров, которое бригада должна была заготовлять в день по плану, а $n$ — количество дней, которое было отведено на выполнение всего плана.

По условию, общий плановый объем заготовки составляет 216 м³. Таким образом, мы можем составить первое уравнение, связывающее плановую дневную норму и плановое количество дней:

$x \cdot n = 216$

Из этого уравнения выразим плановое количество дней $n$ через $x$:

$n = \frac{216}{x}$

Далее проанализируем фактический ход работы. Первые 3 дня бригада работала в соответствии с планом, заготовив за это время объем дров, равный $3 \cdot x$ м³.

После этого производительность бригады возросла. Каждый последующий день они заготовляли на 8 м³ дров больше плана, то есть их дневная норма стала $(x + 8)$ м³/день.

Вся работа была завершена на 1 день раньше установленного срока, значит, общее время работы составило $(n - 1)$ дней. Поскольку первые 3 дня работа велась по старому плану, количество дней работы с повышенной производительностью составляет $(n - 1) - 3 = (n - 4)$ дня.

За эти $(n - 4)$ дня бригада заготовила объем дров, равный $(n - 4) \cdot (x + 8)$ м³.

Суммарный объем заготовленных дров за все время работы составил 232 м³. Это позволяет нам составить второе уравнение, сложив объемы, заготовленные в разные периоды:

$3x + (n - 4)(x + 8) = 232$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений. Подставим выражение для $n$ из первого уравнения ($n = \frac{216}{x}$) во второе:

$3x + (\frac{216}{x} - 4)(x + 8) = 232$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Для начала раскроем скобки:

$3x + \frac{216}{x} \cdot x + \frac{216}{x} \cdot 8 - 4 \cdot x - 4 \cdot 8 = 232$

Упростим выражение:

$3x + 216 + \frac{1728}{x} - 4x - 32 = 232$

Приведем подобные слагаемые:

$-x + 184 + \frac{1728}{x} = 232$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что является верным, так как $x$ — это дневная норма выработки):

$-x^2 + 184x + 1728 = 232x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 232x - 184x - 1728 = 0$

$x^2 + 48x - 1728 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 48^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1728) = 2304 + 6912 = 9216$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{9216} = 96$.

Теперь найдем два возможных корня уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 + 96}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 - 96}{2 \cdot 1} = \frac{-144}{2} = -72$

Поскольку $x$ представляет собой плановый дневной объем заготовки дров, эта величина должна быть положительной. Следовательно, корень $x_2 = -72$ не соответствует условию задачи. Единственным решением является $x = 24$.

Ответ: бригада должна была заготовлять 24 м³ дров в день по плану.

1263. Проценты содержания (по массе) красителя в трёх растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в отношении $2 : 3 : 4$, то получится раствор, содержащий $32\%$ красителя. Если же смешать их в отношении $3 : 2 : 1$, то получится раствор, содержащий $22\%$ красителя. Сколько процентов красителя содержит первый раствор?

Пусть процентное содержание красителя в первом, втором и третьем растворах равно $c_1$, $c_2$ и $c_3$ соответственно.По условию, эти величины образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии как $b$, а знаменатель как $q$. Тогда:

$c_1 = b$
$c_2 = bq$
$c_3 = bq^2$

Концентрация смеси растворов вычисляется как отношение общей массы красителя к общей массе смеси.

1. Если смешать растворы в отношении 2 : 3 : 4, получится раствор, содержащий 32% красителя.Пусть массы взятых растворов равны $2m$, $3m$ и $4m$.Общая масса смеси: $2m + 3m + 4m = 9m$.Масса красителя в смеси: $c_1\% \cdot 2m + c_2\% \cdot 3m + c_3\% \cdot 4m = \frac{2mc_1 + 3mc_2 + 4mc_3}{100}$.Процентное содержание красителя в смеси: $\frac{\text{масса красителя}}{\text{масса смеси}} \cdot 100\% = \frac{2mc_1 + 3mc_2 + 4mc_3}{9m} \cdot \frac{1}{100} \cdot 100\% = \frac{2c_1 + 3c_2 + 4c_3}{9}$.По условию, это равно 32%.

$\frac{2c_1 + 3c_2 + 4c_3}{9} = 32$

$2c_1 + 3c_2 + 4c_3 = 288$

2. Если смешать растворы в отношении 3 : 2 : 1, получится раствор, содержащий 22% красителя.Пусть массы взятых растворов равны $3k$, $2k$ и $k$.Общая масса смеси: $3k + 2k + k = 6k$.По аналогии с предыдущим пунктом, получаем уравнение:

$\frac{3c_1 + 2c_2 + c_3}{6} = 22$

$3c_1 + 2c_2 + c_3 = 132$

Теперь подставим выражения для $c_1, c_2, c_3$ через $b$ и $q$ в полученные уравнения:

$\begin{cases} 2b + 3(bq) + 4(bq^2) = 288 \\ 3b + 2(bq) + (bq^2) = 132 \end{cases}$

Вынесем $b$ за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b(2 + 3q + 4q^2) = 288 \\ b(3 + 2q + q^2) = 132 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить $b$:

$\frac{b(4q^2 + 3q + 2)}{b(q^2 + 2q + 3)} = \frac{288}{132}$

Сократим дробь в правой части: $\frac{288}{132} = \frac{144}{66} = \frac{72}{33} = \frac{24}{11}$.

$\frac{4q^2 + 3q + 2}{q^2 + 2q + 3} = \frac{24}{11}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$11(4q^2 + 3q + 2) = 24(q^2 + 2q + 3)$

$44q^2 + 33q + 22 = 24q^2 + 48q + 72$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$(44-24)q^2 + (33-48)q + (22-72) = 0$

$20q^2 - 15q - 50 = 0$

Разделим уравнение на 5 для упрощения:

$4q^2 - 3q - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

$q = \frac{-(-3) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 13}{8}$

Получаем два возможных значения для $q$:

$q_1 = \frac{3 + 13}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$q_2 = \frac{3 - 13}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $q = 2$.Подставим это значение в уравнение $b(3 + 2q + q^2) = 132$:$b(3 + 2(2) + 2^2) = 132$$b(3 + 4 + 4) = 132$$11b = 132$$b = 12$Концентрация первого раствора $c_1 = b = 12\%$.Концентрации растворов: $12\%$, $24\%$, $48\%$. Все значения положительны, что физически возможно.

Случай 2: $q = -5/4$.Подставим это значение в то же уравнение $b(3 + 2q + q^2) = 132$:$b(3 + 2(-\frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})^2) = 132$$b(3 - \frac{10}{4} + \frac{25}{16}) = 132$$b(\frac{48 - 40 + 25}{16}) = 132$$b(\frac{33}{16}) = 132$$b = 132 \cdot \frac{16}{33} = 4 \cdot 16 = 64$Концентрация первого раствора $c_1 = b = 64\%$.Тогда концентрация второго раствора $c_2 = bq = 64 \cdot (-\frac{5}{4}) = -80\%$.Концентрация не может быть отрицательной, поэтому это решение не имеет физического смысла.

Таким образом, единственным верным решением является $b=12$.

Ответ: 12.

1264. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 34 км. В 4 км от пункта А первый пешеход (вышедший из пункта А) сделал остановку на 1 ч 30 мин. После остановки он увеличил скорость на 2 км/ч и встретил второго пешехода в 18 км от пункта В. Если бы первый пешеход не делал остановки и шёл всё время с первоначальной скоростью, то пешеходы встретились бы на полпути. Определите скорость второго пешехода.

Пусть $v_1$ км/ч — первоначальная скорость первого пешехода, вышедшего из пункта А, а $v_2$ км/ч — скорость второго пешехода, вышедшего из пункта В.

Сначала рассмотрим гипотетическую ситуацию, описанную в условии: если бы первый пешеход не делал остановки и шёл всё время с первоначальной скоростью, пешеходы встретились бы на полпути. Общее расстояние составляет 34 км, следовательно, полпути — это $34 / 2 = 17$ км. В этом случае каждый пешеход прошел бы по 17 км. Так как они вышли одновременно и встретились в одно и то же время, время, затраченное каждым из них, было бы одинаковым. Время первого пешехода было бы $t_1 = \frac{17}{v_1}$, а время второго $t_2 = \frac{17}{v_2}$. Из равенства времён $t_1 = t_2$ следует, что $\frac{17}{v_1} = \frac{17}{v_2}$, что означает $v_1 = v_2$. Таким образом, первоначальные скорости пешеходов были равны. Обозначим эту скорость через $v$, то есть $v_1 = v_2 = v$. Задача состоит в том, чтобы найти $v_2$, то есть $v$.

Теперь рассмотрим реальный сценарий движения. Пешеходы встретились в точке, расположенной в 18 км от пункта В. Это означает, что второй пешеход до момента встречи прошел расстояние $S_2 = 18$ км. Первый пешеход, соответственно, прошел расстояние $S_1 = 34 - 18 = 16$ км.

Вычислим общее время движения первого пешехода до встречи ($T_1$). Его путь состоит из нескольких этапов:
1. Первые 4 км он шел со скоростью $v$. Время на этом участке: $t_{1a} = \frac{4}{v}$ ч.
2. Затем он сделал остановку на 1 час 30 минут, что равно $1,5$ часа. Время остановки: $t_{ост} = 1,5$ ч.
3. После остановки он прошел оставшееся до места встречи расстояние: $16 - 4 = 12$ км. Его скорость на этом участке была на 2 км/ч больше первоначальной, то есть $v + 2$ км/ч. Время на этом участке: $t_{1b} = \frac{12}{v+2}$ ч.
Таким образом, общее время первого пешехода до встречи: $T_1 = t_{1a} + t_{ост} + t_{1b} = \frac{4}{v} + 1,5 + \frac{12}{v+2}$.

Второй пешеход шел без остановок со скоростью $v_2 = v$ и прошел 18 км. Его время в пути до встречи ($T_2$) составляет: $T_2 = \frac{18}{v}$.

Так как пешеходы вышли одновременно и встретились, время их движения до встречи одинаково: $T_1 = T_2$. Составим уравнение:
$\frac{4}{v} + 1,5 + \frac{12}{v+2} = \frac{18}{v}$

Решим полученное уравнение относительно $v$. Перенесем $\frac{4}{v}$ в правую часть:
$1,5 + \frac{12}{v+2} = \frac{18}{v} - \frac{4}{v}$
$1,5 + \frac{12}{v+2} = \frac{14}{v}$
Для удобства решения умножим всё уравнение на $2v(v+2)$, чтобы избавиться от дробей и десятичного числа:
$1,5 \cdot 2v(v+2) + 12 \cdot 2v = 14 \cdot 2(v+2)$
$3v(v+2) + 24v = 28(v+2)$
$3v^2 + 6v + 24v = 28v + 56$
$3v^2 + 30v = 28v + 56$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$3v^2 + 30v - 28v - 56 = 0$
$3v^2 + 2v - 56 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-56) = 4 + 672 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$
Найдем корни уравнения:
$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 26}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 26}{6}$
Первый корень: $v_I = \frac{-2 + 26}{6} = \frac{24}{6} = 4$.
Второй корень: $v_{II} = \frac{-2 - 26}{6} = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3}$.

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_{II} = -\frac{14}{3}$ не является решением задачи. Следовательно, искомая скорость $v = 4$ км/ч. Поскольку мы установили, что скорость второго пешехода $v_2$ равна $v$, то $v_2 = 4$ км/ч.

Ответ: скорость второго пешехода 4 км/ч.