Номер 1264, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1264. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 34 км. В 4 км от пункта А первый пешеход (вышедший из пункта А) сделал остановку на 1 ч 30 мин. После остановки он увеличил скорость на 2 км/ч и встретил второго пешехода в 18 км от пункта В. Если бы первый пешеход не делал остановки и шёл всё время с первоначальной скоростью, то пешеходы встретились бы на полпути. Определите скорость второго пешехода.

Пусть $v_1$ км/ч — первоначальная скорость первого пешехода, вышедшего из пункта А, а $v_2$ км/ч — скорость второго пешехода, вышедшего из пункта В.

Сначала рассмотрим гипотетическую ситуацию, описанную в условии: если бы первый пешеход не делал остановки и шёл всё время с первоначальной скоростью, пешеходы встретились бы на полпути. Общее расстояние составляет 34 км, следовательно, полпути — это $34 / 2 = 17$ км. В этом случае каждый пешеход прошел бы по 17 км. Так как они вышли одновременно и встретились в одно и то же время, время, затраченное каждым из них, было бы одинаковым. Время первого пешехода было бы $t_1 = \frac{17}{v_1}$, а время второго $t_2 = \frac{17}{v_2}$. Из равенства времён $t_1 = t_2$ следует, что $\frac{17}{v_1} = \frac{17}{v_2}$, что означает $v_1 = v_2$. Таким образом, первоначальные скорости пешеходов были равны. Обозначим эту скорость через $v$, то есть $v_1 = v_2 = v$. Задача состоит в том, чтобы найти $v_2$, то есть $v$.

Теперь рассмотрим реальный сценарий движения. Пешеходы встретились в точке, расположенной в 18 км от пункта В. Это означает, что второй пешеход до момента встречи прошел расстояние $S_2 = 18$ км. Первый пешеход, соответственно, прошел расстояние $S_1 = 34 - 18 = 16$ км.

Вычислим общее время движения первого пешехода до встречи ($T_1$). Его путь состоит из нескольких этапов:
1. Первые 4 км он шел со скоростью $v$. Время на этом участке: $t_{1a} = \frac{4}{v}$ ч.
2. Затем он сделал остановку на 1 час 30 минут, что равно $1,5$ часа. Время остановки: $t_{ост} = 1,5$ ч.
3. После остановки он прошел оставшееся до места встречи расстояние: $16 - 4 = 12$ км. Его скорость на этом участке была на 2 км/ч больше первоначальной, то есть $v + 2$ км/ч. Время на этом участке: $t_{1b} = \frac{12}{v+2}$ ч.
Таким образом, общее время первого пешехода до встречи: $T_1 = t_{1a} + t_{ост} + t_{1b} = \frac{4}{v} + 1,5 + \frac{12}{v+2}$.

Второй пешеход шел без остановок со скоростью $v_2 = v$ и прошел 18 км. Его время в пути до встречи ($T_2$) составляет: $T_2 = \frac{18}{v}$.

Так как пешеходы вышли одновременно и встретились, время их движения до встречи одинаково: $T_1 = T_2$. Составим уравнение:
$\frac{4}{v} + 1,5 + \frac{12}{v+2} = \frac{18}{v}$

Решим полученное уравнение относительно $v$. Перенесем $\frac{4}{v}$ в правую часть:
$1,5 + \frac{12}{v+2} = \frac{18}{v} - \frac{4}{v}$
$1,5 + \frac{12}{v+2} = \frac{14}{v}$
Для удобства решения умножим всё уравнение на $2v(v+2)$, чтобы избавиться от дробей и десятичного числа:
$1,5 \cdot 2v(v+2) + 12 \cdot 2v = 14 \cdot 2(v+2)$
$3v(v+2) + 24v = 28(v+2)$
$3v^2 + 6v + 24v = 28v + 56$
$3v^2 + 30v = 28v + 56$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$3v^2 + 30v - 28v - 56 = 0$
$3v^2 + 2v - 56 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-56) = 4 + 672 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$
Найдем корни уравнения:
$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 26}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 26}{6}$
Первый корень: $v_I = \frac{-2 + 26}{6} = \frac{24}{6} = 4$.
Второй корень: $v_{II} = \frac{-2 - 26}{6} = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3}$.

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_{II} = -\frac{14}{3}$ не является решением задачи. Следовательно, искомая скорость $v = 4$ км/ч. Поскольку мы установили, что скорость второго пешехода $v_2$ равна $v$, то $v_2 = 4$ км/ч.

Ответ: скорость второго пешехода 4 км/ч.