Номер 2, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

2. 1) Вычислите $5\frac{1}{6} + \left(3,25 + 2\frac{1}{6}\right) : 2,6 - \frac{2}{3} \cdot 2,25$.

2) Упростите выражение $\left(\frac{x^2 + 9}{x^2 - 6x + 9} + \frac{x - 3}{3 - x}\right) : \frac{9}{x^2 - 9}$.

3) Постройте график функции $y = -2x - 2$. Определите интервал, на котором функция принимает отрицательные значения.

4) Произведение двух чисел равно 20, а их разность равна 1. Найдите эти числа.

1) Выполним вычисления по действиям. Для удобства преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные.

$3,25 = 3\frac{25}{100} = 3\frac{1}{4}$

$2,6 = 2\frac{6}{10} = 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}$

$2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

Исходное выражение примет вид: $5\frac{1}{6} + \left(3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6}\right) : \frac{13}{5} - \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}$

1. Вычислим сумму в скобках:

$3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6} = \frac{13}{4} + \frac{13}{6} = \frac{13 \cdot 3}{12} + \frac{13 \cdot 2}{12} = \frac{39+26}{12} = \frac{65}{12}$

2. Выполним деление:

$\frac{65}{12} : \frac{13}{5} = \frac{65}{12} \cdot \frac{5}{13} = \frac{5 \cdot 13 \cdot 5}{12 \cdot 13} = \frac{25}{12}$

3. Выполним умножение:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

4. Подставим результаты в выражение и выполним оставшиеся действия:

$5\frac{1}{6} + \frac{25}{12} - \frac{3}{2} = \frac{31}{6} + \frac{25}{12} - \frac{3 \cdot 6}{12} = \frac{31 \cdot 2}{12} + \frac{25}{12} - \frac{18}{12} = \frac{62+25-18}{12} = \frac{69}{12}$

5. Сократим и преобразуем полученную дробь:

$\frac{69}{12} = \frac{23 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{23}{4} = 5,75$

Ответ: $5,75$.

2) Упростим выражение $\left(\frac{x^2+9}{x^2-6x+9} + \frac{x-3}{3-x}\right) : \frac{9}{x^2-9}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями неравенства нулю знаменателей:

$x^2-6x+9 \neq 0 \implies (x-3)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$.

$3-x \neq 0 \implies x \neq 3$.

$x^2-9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Итого ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

1. Упростим выражение в скобках. Заметим, что $x^2-6x+9 = (x-3)^2$ и $\frac{x-3}{3-x} = \frac{x-3}{-(x-3)} = -1$.

$\frac{x^2+9}{(x-3)^2} + \frac{x-3}{3-x} = \frac{x^2+9}{(x-3)^2} - 1 = \frac{x^2+9 - (x-3)^2}{(x-3)^2}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $x^2+9 - (x^2-6x+9) = x^2+9-x^2+6x-9 = 6x$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{6x}{(x-3)^2}$.

2. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь. Разложим $x^2-9$ на множители.

$\frac{6x}{(x-3)^2} : \frac{9}{x^2-9} = \frac{6x}{(x-3)^2} \cdot \frac{x^2-9}{9} = \frac{6x}{(x-3)^2} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{9}$

3. Сократим общие множители $3$ и $(x-3)$:

$\frac{2 \cdot 3 \cdot x \cdot (x-3)(x+3)}{3 \cdot 3 \cdot (x-3)^2} = \frac{2x(x+3)}{3(x-3)}$

Ответ: $\frac{2x(x+3)}{3(x-3)}$.

3) Требуется построить график функции $y = -2x - 2$ и определить интервал, на котором её значения отрицательны.

Функция $y = -2x - 2$ является линейной, её график — прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек.

1. Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$):

$y = -2(0) - 2 = -2$. Координаты точки: $(0, -2)$.

2. Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$):

$0 = -2x - 2 \implies 2x = -2 \implies x = -1$. Координаты точки: $(-1, 0)$.

График представляет собой прямую, проходящую через точки $(0, -2)$ и $(-1, 0)$.

Теперь определим, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения, то есть $y < 0$. Решим неравенство:

$-2x - 2 < 0$

$-2x < 2$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -1$

Ответ: Функция принимает отрицательные значения на интервале $(-1; +\infty)$.

4) Пусть искомые числа — это $a$ и $b$.

Согласно условию, их произведение равно 20, а разность равна 1. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a \cdot b = 20 \\ a - b = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = b + 1$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(b+1)b = 20$

$b^2 + b - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $b$, используя формулу корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$b_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 9}{2}$

Получаем два возможных значения для $b$:

$b_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$

$b_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5$

Теперь найдем соответствующие значения $a$ для каждого $b$:

1. Если $b_1 = 4$, то $a_1 = 4 + 1 = 5$. Первая пара чисел: 5 и 4.

2. Если $b_2 = -5$, то $a_2 = -5 + 1 = -4$. Вторая пара чисел: -4 и -5.

Оба решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 5 и 4, или -4 и -5.