Номер 8, страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

8. 1) Вычислите $ \frac{(2,2 + 1,6) : 1,9}{(2,4 - 1,3) : 4,3} $

2) Упростите выражение $ \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} + \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} $

3) Решите систему уравнений графическим способом: $ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ x - 2y = 8. \end{cases} $

4) Скорость товарного поезда на 12 км/ч меньше скорости пассажирского поезда. Определите время, которое понадобится товарному поезду для прохождения участка длиной 52 км, если пассажирский поезд проходит такой участок быстрее товарного на 18 мин.

1)

Чтобы вычислить значение выражения, выполним действия по порядку. Сначала вычислим значения в числителе и знаменателе, а затем разделим их.

1. Вычислим выражение в числителе: $(2,2 + 1,6) : 1,9$.
$2,2 + 1,6 = 3,8$
$3,8 : 1,9 = 2$

2. Вычислим выражение в знаменателе: $(2,4 - 1,3) : 4,3$.
$2,4 - 1,3 = 1,1$
$1,1 : 4,3 = \frac{1,1}{4,3} = \frac{11}{43}$

3. Разделим результат числителя на результат знаменателя:
$\frac{2}{\frac{11}{43}} = 2 \cdot \frac{43}{11} = \frac{86}{11} = 7\frac{9}{11}$

Ответ: $7\frac{9}{11}$

2)

Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}$, приведем дроби к общему знаменателю.

1. Общий знаменатель для дробей равен произведению их знаменателей: $(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)$.
По формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, получаем:
$(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1) = (\sqrt{a})^2 - 1^2 = a - 1$.
Область допустимых значений: $a \ge 0$ и $a-1 \ne 0$, то есть $a \ne 1$.

2. Приведем дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:
$\frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)} + \frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+1)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)} = \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{a-1} + \frac{(\sqrt{a}+1)^2}{a-1}$

3. Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{(\sqrt{a}-1)^2 + (\sqrt{a}+1)^2}{a-1}$

4. Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$(\sqrt{a}-1)^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = a - 2\sqrt{a} + 1$
$(\sqrt{a}+1)^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = a + 2\sqrt{a} + 1$

5. Подставим раскрытые выражения в числитель и упростим:
$\frac{(a - 2\sqrt{a} + 1) + (a + 2\sqrt{a} + 1)}{a-1} = \frac{a+a - 2\sqrt{a} + 2\sqrt{a} + 1+1}{a-1} = \frac{2a+2}{a-1}$

6. Можно вынести общий множитель в числителе:
$\frac{2(a+1)}{a-1}$

Ответ: $\frac{2(a+1)}{a-1}$

3)

Чтобы решить систему уравнений $\begin{cases} 2x+y=1 \\ x-2y=8 \end{cases}$ графическим способом, нужно построить графики каждого уравнения и найти их точку пересечения.

1. Первое уравнение: $2x+y=1$. Это уравнение линейной функции. Выразим $y$ через $x$:
$y = -2x+1$
Для построения прямой найдем две точки:
- если $x=0$, то $y = -2(0)+1 = 1$. Точка A(0; 1).
- если $x=1$, то $y = -2(1)+1 = -1$. Точка B(1; -1).
Проводим прямую через точки A и B.

2. Второе уравнение: $x-2y=8$. Это также уравнение линейной функции. Выразим $y$ через $x$:
$-2y = 8-x$
$2y = x-8$
$y = \frac{1}{2}x - 4$
Для построения прямой найдем две точки:
- если $x=0$, то $y = \frac{1}{2}(0) - 4 = -4$. Точка C(0; -4).
- если $x=4$, то $y = \frac{1}{2}(4) - 4 = 2-4=-2$. Точка D(4; -2).
Проводим прямую через точки C и D.

3. Построив оба графика в одной системе координат, находим их точку пересечения. Визуально определяем, что прямые пересекаются в точке с координатами $(2, -3)$.

4. Проверим, является ли точка $(2, -3)$ решением системы, подставив её координаты в оба уравнения:
$2(2) + (-3) = 4 - 3 = 1$ (Верно)
$2 - 2(-3) = 2 + 6 = 8$ (Верно)

Координаты точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям, значит, решение найдено верно.

Ответ: $(2; -3)$

4)

Пусть $x$ км/ч — скорость пассажирского поезда. Тогда скорость товарного поезда равна $(x-12)$ км/ч.
Расстояние, которое проходят поезда, равно 52 км.

Время, за которое пассажирский поезд проходит этот участок, равно $t_п = \frac{52}{x}$ часов.
Время, за которое товарный поезд проходит этот участок, равно $t_т = \frac{52}{x-12}$ часов.

По условию, пассажирский поезд проходит участок быстрее товарного на 18 минут. Переведем минуты в часы: 18 мин = $\frac{18}{60}$ ч = $\frac{3}{10}$ ч = 0,3 ч.
Разница во времени составляет: $t_т - t_п = 0,3$.

Составим и решим уравнение:
$\frac{52}{x-12} - \frac{52}{x} = 0,3$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-12)$:
$\frac{52x - 52(x-12)}{x(x-12)} = 0,3$
$\frac{52x - 52x + 624}{x^2 - 12x} = 0,3$
$\frac{624}{x^2 - 12x} = 0,3$

Используем основное свойство пропорции:
$0,3(x^2 - 12x) = 624$
$x^2 - 12x = \frac{624}{0,3}$
$x^2 - 12x = 2080$
$x^2 - 12x - 2080 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2080) = 144 + 8320 = 8464$
$\sqrt{D} = \sqrt{8464} = 92$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 92}{2} = \frac{104}{2} = 52$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 92}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -40$ не подходит. Следовательно, скорость пассажирского поезда равна 52 км/ч.

Скорость товарного поезда: $52 - 12 = 40$ км/ч.

Вопрос задачи — определить время, которое понадобится товарному поезду. Найдем это время:
$t_т = \frac{52 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = \frac{52}{40} = \frac{13}{10} = 1,3$ часа.

1,3 часа = 1 час и $0,3 \cdot 60 = 18$ минут.

Ответ: 1,3 часа (или 1 час 18 минут).