Номер 11, страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

11. 1) Два автомобиля выезжают из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он проезжает весь путь на 1 ч быстрее второго. Определите скорости автомобилей, если расстояние между городами равно 560 км.

2) Решите уравнение $ \frac{x^2 + 2x + 2}{4} - \frac{2x + 1}{6} = \frac{3x^2 + 2x}{8} $

3) Решите неравенство $ 4x^2 + 6x < 9x^2 - 14x $

4) Постройте график функции $ y = -\frac{6}{x} $.

1)

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость первого автомобиля равна $(x + 10)$ км/ч. Расстояние между городами составляет 560 км.

Время, которое потратил на путь второй автомобиль, равно $t_2 = \frac{560}{x}$ часов.

Время, которое потратил на путь первый автомобиль, равно $t_1 = \frac{560}{x+10}$ часов.

По условию, первый автомобиль проезжает весь путь на 1 час быстрее второго, следовательно, разница во времени составляет 1 час:

$t_2 - t_1 = 1$

$\frac{560}{x} - \frac{560}{x+10} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+10)$. Умножим обе части уравнения на него, учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq -10$.

$560(x+10) - 560x = x(x+10)$

$560x + 5600 - 560x = x^2 + 10x$

$5600 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 5600 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500$

$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 + 150}{2 \cdot 1} = \frac{140}{2} = 70$

$x_2 = \frac{-10 - 150}{2 \cdot 1} = \frac{-160}{2} = -80$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -80$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость второго автомобиля равна 70 км/ч.

Тогда скорость первого автомобиля равна $x + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля — 80 км/ч, скорость второго автомобиля — 70 км/ч.

2)

Дано уравнение:

$\frac{x^2+2x+2}{4} - \frac{2x+1}{6} = \frac{3x^2+2x}{8}$

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 4, 6 и 8. Это число 24. Умножим обе части уравнения на 24, чтобы избавиться от дробей:

$24 \cdot \frac{x^2+2x+2}{4} - 24 \cdot \frac{2x+1}{6} = 24 \cdot \frac{3x^2+2x}{8}$

$6(x^2+2x+2) - 4(2x+1) = 3(3x^2+2x)$

Раскроем скобки:

$6x^2 + 12x + 12 - 8x - 4 = 9x^2 + 6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$6x^2 + 4x + 8 = 9x^2 + 6x$

Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:

$0 = 9x^2 - 6x^2 + 6x - 4x - 8$

$0 = 3x^2 + 2x - 8$

Решим полученное квадратное уравнение $3x^2 + 2x - 8 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

$\sqrt{D} = 10$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-2 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

Ответ: $x_1 = \frac{4}{3}$, $x_2 = -2$.

3)

Дано неравенство:

$4x^2 + 6x < 9x^2 - 14x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить неравенство вида $f(x) > 0$:

$0 < 9x^2 - 4x^2 - 14x - 6x$

$0 < 5x^2 - 20x$

или

$5x^2 - 20x > 0$

Для решения найдем корни соответствующего уравнения $5x^2 - 20x = 0$. Вынесем общий множитель за скобки:

$5x(x - 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак выражения $5x(x-4)$ в каждом интервале.

Графиком функции $y = 5x^2 - 20x$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($5>0$). Следовательно, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство $5x(x - 4) > 0$ выполняется при $x < 0$ или $x > 4$.

Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

4)

Функция $y = -\frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью. Ее график — гипербола.

Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. $E(y): y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).
• Так как коэффициент $k = -6$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Для построения графика составим таблицу значений для каждой ветви.

Ветвь во II четверти ($x < 0$):

Ветвь в IV четверти ($x > 0$):

График строится путем нанесения этих точек на координатную плоскость и соединения их плавными линиями, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях, проходящая через точки, указанные в таблицах, и имеющая асимптоты $x=0$ и $y=0$.