Номер 16, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

16. 1) Вычислите $ \left(4\frac{5}{12} - 4\frac{4}{15}\right) \cdot 0.4 + 0.4 $

2) Упростите выражение $ \frac{x}{x+3} + \frac{3x}{x-3} \cdot \left(\frac{3}{x^2-3x} - \frac{x-9}{9-x^2}\right) $

3) Постройте график функции $ y = -0.5x^2 + 1.5 $

4) Разность двух чисел равна -9,7, а их произведение равно -12,3. Найдите эти числа.

1) Вычислите

Выполним вычисления по действиям для выражения $\left(4\frac{5}{12} - 4\frac{4}{15}\right) \cdot 0,4 + 0,4$.

1. Сначала выполним вычитание в скобках: $4\frac{5}{12} - 4\frac{4}{15}$. Так как целые части одинаковы, вычитаем только дробные части: $\frac{5}{12} - \frac{4}{15}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 15 равно 60.

$\frac{5}{12} - \frac{4}{15} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{25}{60} - \frac{16}{60} = \frac{25 - 16}{60} = \frac{9}{60}$.

Сократим полученную дробь на 3: $\frac{9}{60} = \frac{3}{20}$.

2. Теперь умножим результат на 0,4. Представим 0,4 в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

$\frac{3}{20} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{20 \cdot 5} = \frac{6}{100}$.

3. Наконец, прибавим 0,4. Переведем результат предыдущего действия в десятичную дробь: $\frac{6}{100} = 0,06$.

$0,06 + 0,4 = 0,46$.

Ответ: 0,46.

2) Упростите выражение

Упростим выражение $\frac{x}{x+3} + \frac{3x}{x-3} \cdot \left(\frac{3}{x^2-3x} - \frac{x-9}{9-x^2}\right)$.

1. Сначала преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 3x = x(x-3)$

$9 - x^2 = (3-x)(3+x) = -(x-3)(x+3)$

Подставим разложенные знаменатели в скобки:

$\frac{3}{x(x-3)} - \frac{x-9}{-(x-3)(x+3)} = \frac{3}{x(x-3)} + \frac{x-9}{(x-3)(x+3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-3)(x+3)$:

$\frac{3(x+3)}{x(x-3)(x+3)} + \frac{x(x-9)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{3x+9+x^2-9x}{x(x-3)(x+3)} = \frac{x^2-6x+9}{x(x-3)(x+3)}$

Заметим, что числитель является полным квадратом: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$.

$\frac{(x-3)^2}{x(x-3)(x+3)}$

Сократим дробь на $(x-3)$ (при $x \neq 3$): $\frac{x-3}{x(x+3)}$.

2. Теперь выполним умножение:

$\frac{3x}{x-3} \cdot \frac{x-3}{x(x+3)} = \frac{3x(x-3)}{(x-3)x(x+3)}$

Сократим на $x$ и $(x-3)$ (при $x \neq 0$ и $x \neq 3$): $\frac{3}{x+3}$.

3. Выполним сложение:

$\frac{x}{x+3} + \frac{3}{x+3} = \frac{x+3}{x+3} = 1$

Выражение равно 1 при всех допустимых значениях $x$, которыми являются все числа, кроме $x=0$, $x=3$ и $x=-3$.

Ответ: 1.

3) Постройте график функции

Графиком функции $y = -0,5x^2 + 1,5$ является парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $-0,5$. Так как $-0,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Для функции вида $y = ax^2+c$ вершина находится на оси OY.

$x_v = 0$

$y_v = -0,5 \cdot 0^2 + 1,5 = 1,5$

Координаты вершины: $(0; 1,5)$.

3. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$ (ось OY).

4. Найдем несколько точек для построения графика, составив таблицу значений. В силу симметрии относительно оси OY, значения $y$ для $x$ и $-x$ будут одинаковыми.

5. Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0; 1,5)$, точки из таблицы и соединить их плавной линией.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0; 1,5)$, ветвями, направленными вниз. Парабола симметрична относительно оси OY и проходит, например, через точки $(-1; 1)$, $(1; 1)$, $(-2; -0,5)$ и $(2; -0,5)$.

4) Разность двух чисел равна -9,7, а их произведение равно -12,3. Найдите эти числа.

Пусть искомые числа - это $x$ и $y$. Из условия задачи составим систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = -9,7 \\ xy = -12,3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y - 9,7$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(y - 9,7) \cdot y = -12,3$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 9,7y + 12,3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-9,7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12,3 = 94,09 - 49,2 = 44,89$

Найдем корни уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9,7 \pm \sqrt{44,89}}{2 \cdot 1} = \frac{9,7 \pm 6,7}{2}$

Получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = \frac{9,7 + 6,7}{2} = \frac{16,4}{2} = 8,2$

$y_2 = \frac{9,7 - 6,7}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ из уравнения $x = y - 9,7$:

1. Если $y = 8,2$, то $x = 8,2 - 9,7 = -1,5$. Первая пара чисел: $(-1,5; 8,2)$.

2. Если $y = 1,5$, то $x = 1,5 - 9,7 = -8,2$. Вторая пара чисел: $(-8,2; 1,5)$.

Обе пары удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: -1,5 и 8,2 или -8,2 и 1,5.