Номер 18, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

18. 1) Решите графическим способом уравнение $\frac{12}{x} = 1 - x$.

2) Двадцатый член арифметической прогрессии равен 20, а сумма первых двадцати членов равна 430. Найдите разность прогрессии.

3) Найдите область определения функции $y = \frac{1}{1+x}$.

4) Решите неравенство $20 - \frac{1}{5}x > 0$.

1) Для того чтобы решить уравнение $ \frac{12}{x} = 1 - x $ графическим способом, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y = \frac{12}{x} $ и $ y = 1 - x $. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.
1. Построим график функции $ y = \frac{12}{x} $. Это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:
- при $x=2, y=6$
- при $x=3, y=4$
- при $x=4, y=3$
- при $x=6, y=2$
- при $x=-2, y=-6$
- при $x=-3, y=-4$
- при $x=-4, y=-3$
- при $x=-6, y=-2$
2. Построим график функции $ y = 1 - x $. Это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек, например: (0, 1) и (1, 0).
3. Разместив оба графика в одной системе координат, мы видим, что они не пересекаются. В III четверти ($x < 0$) ветвь гиперболы находится ниже оси абсцисс ($y < 0$), в то время как прямая находится выше оси абсцисс ($y > 0$). В I четверти ($x > 0$) графики также не имеют общих точек. Это можно подтвердить аналитически: преобразовав уравнение к виду $ x^2 - x + 12 = 0 $, мы найдем, что его дискриминант $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47 < 0 $, что означает отсутствие действительных корней.
Так как графики не имеют точек пересечения, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

2) По условию задачи дан двадцатый член арифметической прогрессии $ a_{20} = 20 $ и сумма первых двадцати членов $ S_{20} = 430 $. Необходимо найти разность прогрессии $d$.
Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $.
Подставим в нее известные нам значения для $n=20$:
$ 430 = \frac{a_1 + 20}{2} \cdot 20 $
Сократим дробь и число 20:
$ 430 = (a_1 + 20) \cdot 10 $
Разделим обе части уравнения на 10:
$ 43 = a_1 + 20 $
Найдем первый член прогрессии $a_1$:
$ a_1 = 43 - 20 = 23 $
Теперь используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $ a_n = a_1 + (n-1)d $.
Подставим известные значения $a_1$, $a_{20}$ и $n=20$:
$ 20 = 23 + (20-1)d $
$ 20 = 23 + 19d $
$ 19d = 20 - 23 $
$ 19d = -3 $
$ d = -\frac{3}{19} $
Ответ: $ -\frac{3}{19} $.

3) Областью определения функции называется множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.
Дана функция $ y = \frac{1}{1+x} $.
Данное выражение является дробью. Дробь определена только в том случае, если ее знаменатель не равен нулю.
Поэтому для нахождения области определения функции необходимо решить неравенство:
$ 1 + x \neq 0 $
$ x \neq -1 $
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -1$.
Ответ: $ x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty) $.

4) Для решения линейного неравенства $ 20 - \frac{1}{5}x > 0 $ необходимо изолировать переменную $x$.
Перенесем слагаемое $ -\frac{1}{5}x $ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$ 20 > \frac{1}{5}x $
Теперь умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$ 20 \cdot 5 > x $
$ 100 > x $
Запишем решение в более привычном виде:
$ x < 100 $
Это означает, что решением являются все числа, меньшие 100.
Ответ: $ x \in (-\infty; 100) $.