Номер 25, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

25. 1) Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии, зная, что прогрессия возрастающая и $b_4 \cdot b_5 = 3b_8$, $b_1 + b_3 = 15$.

2) Решите уравнение $(x^2 - 3x)^2 + 3(x^2 - 3x) - 28 = 0$.

3) Решите систему неравенств
$\begin{cases} \frac{x - 9}{4} - x \ge \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \\ 2 - x \le 2x - 8 \end{cases}$

4) Упростите выражение $\frac{1}{x^{-1}} \cdot \frac{1}{x^{-4}}$ и найдите его значение при $x = -2$.

1)

Дана возрастающая геометрическая прогрессия, для которой верны равенства: $b_4 \cdot b_5 = 3b_8$ и $b_1 + b_3 = 15$.
Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ - первый член, а $q$ - знаменатель прогрессии.
Преобразуем первое равенство, подставив в него выражения для $b_4$, $b_5$ и $b_8$:
$b_4 = b_1 q^3$
$b_5 = b_1 q^4$
$b_8 = b_1 q^7$
$(b_1 q^3) \cdot (b_1 q^4) = 3(b_1 q^7)$
$b_1^2 q^7 = 3b_1 q^7$
Поскольку для геометрической прогрессии $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1 q^7$, получив:
$b_1 = 3$.

Теперь используем второе равенство $b_1 + b_3 = 15$.
Выразим $b_3$ через $b_1$ и $q$: $b_3 = b_1 q^2$.
$b_1 + b_1 q^2 = 15$
$b_1(1 + q^2) = 15$
Подставим найденное значение $b_1 = 3$:
$3(1 + q^2) = 15$
$1 + q^2 = 5$
$q^2 = 4$
Отсюда $q = 2$ или $q = -2$.

По условию прогрессия является возрастающей. Так как $b_1 = 3 > 0$, для возрастания прогрессии необходимо, чтобы знаменатель $q > 1$. Следовательно, выбираем $q = 2$.

Теперь найдем сумму первых семи членов прогрессии по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$:
$S_7 = \frac{3(2^7 - 1)}{2-1} = \frac{3(128 - 1)}{1} = 3 \cdot 127 = 381$.

Ответ: 381

2)

Дано уравнение $(x^2 - 3x)^2 + 3(x^2 - 3x) - 28 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно выражения $x^2 - 3x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^2 + 3t - 28 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, произведение корней равно -28, а их сумма равна -3. Корни легко находятся: $t_1 = 4$ и $t_2 = -7$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.
Случай 1: $x^2 - 3x = 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, произведение корней этого уравнения равно -4, а сумма равна 3. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Случай 2: $x^2 - 3x = -7$
$x^2 - 3x + 7 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: 4 и -1.

Ответ: -1; 4.

3)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{x-9}{4} - x \ge \frac{x-1}{2} - \frac{x-2}{3} \\ 2-x \le 2x - 8 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство:
$\frac{x-9}{4} - x \ge \frac{x-1}{2} - \frac{x-2}{3}$
Приведем все дроби к общему знаменателю 12 и умножим на него обе части неравенства:
$12 \cdot \frac{x-9}{4} - 12 \cdot x \ge 12 \cdot \frac{x-1}{2} - 12 \cdot \frac{x-2}{3}$
$3(x-9) - 12x \ge 6(x-1) - 4(x-2)$
$3x - 27 - 12x \ge 6x - 6 - 4x + 8$
$-9x - 27 \ge 2x + 2$
$-27 - 2 \ge 2x + 9x$
$-29 \ge 11x$
$x \le -\frac{29}{11}$

Теперь решим второе неравенство:
$2 - x \le 2x - 8$
$2 + 8 \le 2x + x$
$10 \le 3x$
$x \ge \frac{10}{3}$

Мы получили систему из двух условий: $x \le -\frac{29}{11}$ и $x \ge \frac{10}{3}$.
Поскольку $-\frac{29}{11} \approx -2.64$, а $\frac{10}{3} \approx 3.33$, не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше отрицательного числа и больше положительного. Следовательно, пересечение множеств решений пусто.

Ответ: нет решений.

4)

Упростим выражение $\frac{1}{x^{-1}} \cdot \frac{1}{x^{-4}}$.
Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, из которого следует, что $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.
Применим это свойство к каждому множителю в выражении:
$\frac{1}{x^{-1}} = x^1 = x$
$\frac{1}{x^{-4}} = x^4$
Тогда исходное выражение можно переписать как:
$x \cdot x^4$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^1 \cdot x^4 = x^{1+4} = x^5$.

Найдем значение полученного выражения при $x = -2$:
$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$.

Ответ: -32.