Номер 26, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

26. 1) Два рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч быстрее, чем второй рабочий, работая отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

2) Решите уравнение $(x^2 - 6x)^2 - 6(x^2 - 6x) + 9 = 81$.

3) Решите систему уравнений $\begin{cases} \frac{3}{x} - \frac{5}{y} = 2, \\ \frac{7}{x} + \frac{10}{y} = 9. \end{cases}$

4) Сравните значения выражений $8^{1,2}$ и $0,5^{-2}$.

1)

Обозначим всю работу за 1. Пусть $x$ часов – время, за которое первый рабочий выполняет всю работу, работая отдельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $1/x$.

По условию, первый рабочий выполняет работу на 5 часов быстрее, чем второй. Значит, второму рабочему требуется $x+5$ часов на выполнение всей работы. Его производительность равна $1/(x+5)$.

Работая вместе, их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$.

Вместе они выполняют работу за 6 часов. Это означает, что их общая производительность равна $1/6$. Составим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$):

$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как время не может быть отрицательным, корень $x_2 = -3$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, время работы первого рабочего $x = 10$ часов.

Время работы второго рабочего равно $x+5 = 10+5 = 15$ часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить всю работу за 10 часов, а второй – за 15 часов.

2)

Дано уравнение $(x^2 - 6x)^2 - 6(x^2 - 6x) + 9 = 81$.

Это уравнение является квадратным относительно выражения $x^2 - 6x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 6t + 9 = 81$

Левая часть является полным квадратом разности $(t-3)^2$:

$(t-3)^2 = 81$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$t-3 = 9$ или $t-3 = -9$

Решим каждое из этих уравнений для $t$:

$t_1 = 9 + 3 = 12$

$t_2 = -9 + 3 = -6$

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t=12$

$x^2 - 6x = 12$

$x^2 - 6x - 12 = 0$

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 36 + 48 = 84$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 21}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{21}}{2} = 3 \pm \sqrt{21}$

Случай 2: $t=-6$

$x^2 - 6x = -6$

$x^2 - 6x + 6 = 0$

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$

Ответ: $3 - \sqrt{21}; 3 + \sqrt{21}; 3 - \sqrt{3}; 3 + \sqrt{3}$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{3}{x} - \frac{5}{y} = 2, \\ \frac{7}{x} + \frac{10}{y} = 9. \end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$\begin{cases} 3a - 5b = 2, \\ 7a + 10b = 9. \end{cases}$

Решим эту систему линейных уравнений методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:

$2(3a - 5b) = 2 \cdot 2 \implies 6a - 10b = 4$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(6a - 10b) + (7a + 10b) = 4 + 9$

$13a = 13$

$a = 1$

Подставим значение $a=1$ в первое уравнение исходной системы для $a$ и $b$ ($3a - 5b = 2$):

$3(1) - 5b = 2$

$3 - 5b = 2$

$-5b = -1$

$b = \frac{1}{5}$

Выполним обратную замену:

$a = \frac{1}{x} \implies 1 = \frac{1}{x} \implies x=1$

$b = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{5} = \frac{1}{y} \implies y=5$

Ответ: $(1; 5)$.

4)

Требуется сравнить значения выражений $8^{1,2}$ и $0,5^{-2}$.

Преобразуем каждое выражение, приведя их к основанию 2.

Первое выражение:

$8^{1,2} = (2^3)^{1,2} = 2^{3 \cdot 1,2} = 2^{3,6}$

Второе выражение:

$0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{(-1) \cdot (-2)} = 2^2$

Теперь сравним полученные выражения $2^{3,6}$ и $2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y = 2^x$ является возрастающей. Это значит, что большему показателю степени соответствует большее значение функции.

Сравниваем показатели степеней: $3,6 > 2$.

Следовательно, $2^{3,6} > 2^2$.

Ответ: $8^{1,2} > 0,5^{-2}$.