Номер 22, страница 310 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

22. 1) Расстояние между станциями А и В равно 240 км. Из В в А вышел поезд. Через 30 мин навстречу ему из А вышел другой поезд со скоростью на 12 км/ч большей. Найдите скорость каждого поезда, если известно, что они встретились на середине пути.

2) Решите уравнение $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3.$

3) Решите неравенство $\frac{3x + 2}{2x + 3} > 4.$

4) Упростите выражение $\left(\frac{m}{m - 6} - \frac{2m}{m^2 - 12m + 36}\right) \cdot \frac{36 - m^2}{m - 8} + \frac{12m}{m - 6}.$

1) Пусть скорость поезда, вышедшего из В, равна $x$ км/ч. Тогда скорость поезда, вышедшего из А, равна $(x + 12)$ км/ч.
Поезда встретились на середине пути, то есть каждый проехал расстояние, равное $240 / 2 = 120$ км.
Время, которое был в пути первый поезд (из В), составляет $t_1 = \frac{120}{x}$ ч.
Время, которое был в пути второй поезд (из А), составляет $t_2 = \frac{120}{x + 12}$ ч.
По условию, второй поезд вышел на 30 минут (то есть 0.5 часа) позже первого, а значит, он был в пути на 0.5 часа меньше. Составим уравнение, исходя из того, что время первого поезда на 0.5 часа больше времени второго:
$t_1 - t_2 = 0.5$
$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+12} = 0.5$
Умножим обе части уравнения на $2x(x+12)$, чтобы избавиться от знаменателей (при этом $x > 0$):
$120 \cdot 2(x+12) - 120 \cdot 2x = 0.5 \cdot 2x(x+12)$
$240(x+12) - 240x = x(x+12)$
$240x + 2880 - 240x = x^2 + 12x$
$x^2 + 12x - 2880 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2880) = 144 + 11520 = 11664$
$\sqrt{D} = \sqrt{11664} = 108$
$x_1 = \frac{-12 + 108}{2 \cdot 1} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{-12 - 108}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$
Поскольку скорость не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 48$.
Следовательно, скорость первого поезда (из В) равна 48 км/ч.
Скорость второго поезда (из А) равна $48 + 12 = 60$ км/ч.

Ответ: 48 км/ч и 60 км/ч.

2) Дано уравнение $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3$.
Для решения сгруппируем множители следующим образом: $((x - 1)(x - 4)) \cdot ((x - 2)(x - 3)) = 3$.
Раскроем скобки в каждой группе:
$(x^2 - 4x - x + 4)(x^2 - 3x - 2x + 6) = 3$
$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 3$
Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 5x$. Тогда уравнение примет вид:
$(y + 4)(y + 6) = 3$
$y^2 + 6y + 4y + 24 = 3$
$y^2 + 10y + 21 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Используя теорему Виета, находим корни:
$y_1 + y_2 = -10$
$y_1 \cdot y_2 = 21$
Отсюда $y_1 = -7$ и $y_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
1) $x^2 - 5x = -7 \Rightarrow x^2 - 5x + 7 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
2) $x^2 - 5x = -3 \Rightarrow x^2 - 5x + 3 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{13}}{2}; \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$.

3) Решим неравенство $\frac{3x + 2}{2x + 3} > 4$.
Перенесем 4 в левую часть неравенства и приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3x + 2}{2x + 3} - 4 > 0$
$\frac{3x + 2 - 4(2x + 3)}{2x + 3} > 0$
$\frac{3x + 2 - 8x - 12}{2x + 3} > 0$
$\frac{-5x - 10}{2x + 3} > 0$
Разделим обе части неравенства на -5, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\frac{x + 2}{2x + 3} < 0$
Применим метод интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:
Нуль числителя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
Нуль знаменателя: $2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1.5$.
Отметим эти точки на числовой оси. Обе точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.
Определим знаки выражения $\frac{x+2}{2x+3}$ на полученных интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1.5)$ и $(-1.5; +\infty)$.
• При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$: $\frac{-3+2}{2(-3)+3} = \frac{-1}{-3} > 0$.
• При $x \in (-2; -1.5)$, например $x=-1.75$: $\frac{-1.75+2}{2(-1.75)+3} = \frac{0.25}{-0.5} < 0$.
• При $x \in (-1.5; +\infty)$, например $x=0$: $\frac{0+2}{2(0)+3} = \frac{2}{3} > 0$.
Нас интересует интервал, на котором выражение меньше нуля. Это интервал $(-2; -1.5)$.

Ответ: $(-2; -1.5)$.

4) Упростим выражение $\left(\frac{m}{m-6} - \frac{2m}{m^2-12m+36}\right) \cdot \frac{36-m^2}{m-8} + \frac{12m}{m-6}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $m \neq 6$ и $m \neq 8$.
Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Знаменатель $m^2 - 12m + 36$ является полным квадратом $(m-6)^2$.
$\frac{m}{m-6} - \frac{2m}{(m-6)^2} = \frac{m(m-6)}{(m-6)^2} - \frac{2m}{(m-6)^2} = \frac{m^2 - 6m - 2m}{(m-6)^2} = \frac{m^2 - 8m}{(m-6)^2} = \frac{m(m-8)}{(m-6)^2}$.
2. Выполним умножение. Выражение $36 - m^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(6-m)(6+m)$ или $-(m-6)(m+6)$.
$\frac{m(m-8)}{(m-6)^2} \cdot \frac{-(m-6)(m+6)}{m-8}$.
Сократим общие множители $(m-8)$ в числителе и знаменателе, а также $(m-6)$:
$\frac{m}{(m-6)} \cdot (-(m+6)) = \frac{-m(m+6)}{m-6} = \frac{-m^2-6m}{m-6}$.
3. Выполним сложение.
$\frac{-m^2-6m}{m-6} + \frac{12m}{m-6} = \frac{-m^2-6m+12m}{m-6} = \frac{-m^2+6m}{m-6}$.
4. Упростим полученную дробь. Вынесем в числителе за скобки $-m$:
$\frac{-m(m-6)}{m-6}$.
Сократим $(m-6)$, так как по ОДЗ $m \neq 6$.
$-m$.

Ответ: $-m$.