Номер 29, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

29. 1) Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч большей, чем полагается по расписанию. Какова скорость поезда по расписанию?

2) Решите уравнение $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.

3) Решите неравенство $0,01(1 - 3x) < 0,02x + 3,01$.

4) Найдите область определения функции $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{10 - x}$.

1) Пусть $v$ км/ч — это скорость поезда по расписанию. Тогда его фактическая скорость на перегоне, где он нагонял опоздание, была $v + 10$ км/ч.
Время, за которое поезд должен был проехать 80 км по расписанию, составляет $t_1 = \frac{80}{v}$ часов.
Фактическое время, затраченное на этот перегон, составило $t_2 = \frac{80}{v+10}$ часов.
Задержка составила 16 минут. Чтобы использовать это значение в расчетах со скоростью в км/ч, переведем минуты в часы: $16 \text{ мин} = \frac{16}{60} \text{ ч} = \frac{4}{15} \text{ ч}$.
Разница между плановым и фактическим временем движения равна времени, которое поезд наверстал. Составим уравнение:
$t_1 - t_2 = \frac{4}{15}$
$\frac{80}{v} - \frac{80}{v+10} = \frac{4}{15}$
Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:
$\frac{20}{v} - \frac{20}{v+10} = \frac{1}{15}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$:
$\frac{20(v+10) - 20v}{v(v+10)} = \frac{1}{15}$
$\frac{20v + 200 - 20v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{15}$
$\frac{200}{v^2 + 10v} = \frac{1}{15}$
Используя основное свойство пропорции, получаем:
$v^2 + 10v = 200 \cdot 15$
$v^2 + 10v = 3000$
$v^2 + 10v - 3000 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$
$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$. Этот корень не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной.
$v_2 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$. Этот корень нам подходит.
Следовательно, скорость поезда по расписанию равна 50 км/ч.
Ответ: 50 км/ч.

2) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 10t + 9 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Отсюда легко находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.
Оба значения для $t$ неотрицательны, поэтому они оба являются допустимыми решениями для промежуточного уравнения.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1) Если $t = 1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
2) Если $t = 9$, то $x^2 = 9$. Отсюда $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: -3; -1; 1; 3.

3) Решим линейное неравенство $0,01(1 - 3x) < 0,02x + 3,01$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части неравенства на 100. Знак неравенства при этом не изменится, так как 100 — положительное число.
$100 \cdot 0,01(1 - 3x) < 100 \cdot 0,02x + 100 \cdot 3,01$
$1 \cdot (1 - 3x) < 2x + 301$
$1 - 3x < 2x + 301$
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а постоянные члены — в другой. Перенесем $-3x$ вправо, а 301 влево, изменив их знаки.
$1 - 301 < 2x + 3x$
$-300 < 5x$
Разделим обе части неравенства на 5. Знак неравенства не меняется.
$\frac{-300}{5} < x$
$-60 < x$
Это решение можно записать в виде интервала.
Ответ: $(-60; +\infty)$.

4) Найдем область определения функции $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{10 - x}$.
Область определения функции — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение имеет смысл.
Функция содержит квадратные корни. Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Поэтому подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.
Это приводит к системе из двух неравенств:
$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
2) $10 - x \ge 0 \implies 10 \ge x \implies x \le 10$
Областью определения функции будет пересечение решений этих двух неравенств, то есть все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \ge 2$ и $x \le 10$.
Объединяя эти условия, получаем двойное неравенство:
$2 \le x \le 10$
Это множество можно записать в виде числового отрезка.
Ответ: $[2; 10]$.