Номер 24, страница 310 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

24. 1) Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если формула n-го её члена $b_n = 4 \cdot (0,5)^{n-1}$.

2) Решите неравенство $\frac{1+4y}{1-3y} < 1$.

3) Решите систему уравнений

$\begin{cases} \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 2, \\ \frac{3}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 7. \end{cases}$

4) Сравните значения выражений $(0,7)^{-5}$ и $(0,7)^{0}$.

1) Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.
Из условия дана формула $b_n = 4 \cdot (0,5)^{n-1}$.
Сравнивая две формулы, находим, что первый член прогрессии $b_1 = 4$, а знаменатель $q = 0,5$.
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.
Нам нужно найти сумму первых шести членов, то есть $n=6$. Подставляем наши значения в формулу:
$S_6 = \frac{4(1 - (0,5)^6)}{1 - 0,5}$.
Вычислим $(0,5)^6 = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1^{6}}{2^{6}} = \frac{1}{64}$.
Теперь подставим это значение в формулу суммы:
$S_6 = \frac{4(1 - \frac{1}{64})}{0,5} = \frac{4(\frac{64}{64} - \frac{1}{64})}{0,5} = \frac{4 \cdot \frac{63}{64}}{0,5}$.
$S_6 = \frac{\frac{4 \cdot 63}{64}}{0,5} = \frac{\frac{63}{16}}{0,5} = \frac{63}{16} \div \frac{1}{2} = \frac{63}{16} \cdot 2 = \frac{63}{8}$.
Преобразуем в десятичную дробь: $S_6 = 7,875$.
Ответ: 7,875.

2) Решим неравенство $\frac{1+4y}{1-3y} < 1$.
Перенесем 1 в левую часть неравенства:
$\frac{1+4y}{1-3y} - 1 < 0$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1+4y - (1-3y)}{1-3y} < 0$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{1+4y - 1 + 3y}{1-3y} < 0$.
$\frac{7y}{1-3y} < 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $7y = 0 \implies y = 0$.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $1-3y = 0 \implies 3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$.
Определим знак выражения $\frac{7y}{1-3y}$ на каждом интервале:
- При $y > \frac{1}{3}$ (например, $y=1$): $\frac{7(1)}{1-3(1)} = \frac{7}{-2} < 0$. Интервал подходит.
- При $0 < y < \frac{1}{3}$ (например, $y=0,1$): $\frac{7(0,1)}{1-3(0,1)} = \frac{0,7}{0,7} > 0$. Интервал не подходит.
- При $y < 0$ (например, $y=-1$): $\frac{7(-1)}{1-3(-1)} = \frac{-7}{4} < 0$. Интервал подходит.
Таким образом, решение неравенства — это объединение интервалов, где выражение отрицательно.
Ответ: $y \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

3) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 2 \\ \frac{3}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 7 \end{cases}$
Введем новые переменные, чтобы упростить систему. Пусть $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$.
Тогда система примет вид:
$\begin{cases} a + b = 2 \\ 3a + 4b = 7 \end{cases}$
Решим эту линейную систему. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 2 - b$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3(2 - b) + 4b = 7$.
$6 - 3b + 4b = 7$.
$b = 7 - 6 \implies b = 1$.
Теперь найдем $a$: $a = 2 - b = 2 - 1 = 1$.
Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$a = \frac{1}{x+y} = 1 \implies x+y = 1$.
$b = \frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1$.
Мы получили новую, более простую систему:
$\begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 1 \end{cases}$
Сложим два уравнения системы: $(x+y) + (x-y) = 1+1 \implies 2x = 2 \implies x=1$.
Подставим значение $x=1$ в первое уравнение: $1+y = 1 \implies y=0$.
Решение системы: $(1; 0)$.
Ответ: (1; 0).

4) Нужно сравнить значения выражений $(0,7)^{-5}$ и $(0,7)^0$.
Сначала вычислим значение второго выражения. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1:
$(0,7)^0 = 1$.
Теперь рассмотрим первое выражение. Отрицательная степень означает, что нужно взять обратное число к основанию в положительной степени:
$(0,7)^{-5} = \frac{1}{(0,7)^5}$.
Рассмотрим основание степени $0,7$. Так как $0 < 0,7 < 1$, то при возведении в любую положительную степень результат будет меньше 1. То есть, $0 < (0,7)^5 < 1$.
Если знаменатель дроби является положительным числом, меньшим 1, то сама дробь будет больше 1.
Следовательно, $\frac{1}{(0,7)^5} > 1$.
Таким образом, мы сравниваем число, которое больше 1, с числом 1.
$(0,7)^{-5} > 1$, а $(0,7)^0 = 1$.
Значит, $(0,7)^{-5} > (0,7)^0$.
Альтернативный способ: рассмотрим показательную функцию $y = a^x$. Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.
В нашем случае основание $a = 0,7$, что удовлетворяет условию $0 < 0,7 < 1$.
Сравниваем показатели степени: $-5$ и $0$.
Так как $-5 < 0$, то для убывающей функции $y=(0,7)^x$ будет выполняться неравенство $(0,7)^{-5} > (0,7)^0$.
Ответ: $(0,7)^{-5} > (0,7)^0$.