Номер 20, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

20. 1) Первый член арифметической прогрессии равен 1,5, а сумма первых двадцати членов равна 505. Найдите разность прогрессии. Есть ли среди членов прогрессии число 29?

2) Упростите выражение

$c+\left(\frac{c^3-1}{c-1}-2c\right):\left(c^2-c+1\right).$

3) Найдите область определения функции

$y=\sqrt{(x-2)(x-3)}.$

4) Решите неравенство $5x \geq 8(x - 3) - 17.$

1)

Дана арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 1,5$ и сумма первых двадцати членов $S_{20} = 505$.

Для нахождения разности прогрессии $d$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $n=20$, $a_1=1,5$ и $S_{20}=505$:

$505 = \frac{2 \cdot 1,5 + d(20-1)}{2} \cdot 20$

$505 = (3 + 19d) \cdot 10$

$50,5 = 3 + 19d$

$19d = 50,5 - 3$

$19d = 47,5$

$d = \frac{47,5}{19} = 2,5$

Теперь проверим, является ли число 29 членом этой прогрессии. Для этого воспользуемся формулой $n$-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Подставим $a_n = 29$, $a_1 = 1,5$ и $d = 2,5$ и найдем номер члена $n$:

$29 = 1,5 + 2,5(n-1)$

$29 - 1,5 = 2,5(n-1)$

$27,5 = 2,5(n-1)$

$n-1 = \frac{27,5}{2,5} = \frac{275}{25} = 11$

$n = 11 + 1 = 12$

Так как $n=12$ является натуральным числом, то число 29 является 12-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: разность прогрессии равна 2,5; да, число 29 является членом прогрессии.

2)

Упростим выражение $c + \left(\frac{c^3 - 1}{c - 1} - 2c\right) : (c^2 - c + 1)$. Согласно порядку действий, сначала выполняем действия в скобках, затем деление, и в конце — сложение.

1. Упростим выражение в первых скобках: $\frac{c^3 - 1}{c - 1} - 2c$.

Числитель дроби $c^3 - 1$ — это разность кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$c^3 - 1^3 = (c-1)(c^2 + c \cdot 1 + 1^2) = (c-1)(c^2 + c + 1)$.

Подставим разложение в дробь и сократим (при условии, что $c-1 \neq 0$, то есть $c \neq 1$):

$\frac{(c-1)(c^2 + c + 1)}{c - 1} - 2c = (c^2 + c + 1) - 2c = c^2 - c + 1$.

2. Теперь выполним деление. Результат из скобок делим на $(c^2 - c + 1)$:

$(c^2 - c + 1) : (c^2 - c + 1) = 1$.

3. Последним действием выполним сложение:

$c + 1$.

Выражение определено при $c \neq 1$.

Ответ: $c+1$.

3)

Найдем область определения функции $y = \sqrt{(x-2)(x-3)}$.

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$(x-2)(x-3) \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x-2)(x-3) = 0$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 2]$, $[2, 3]$ и $[3, \infty)$.

Графиком функции $f(x) = (x-2)(x-3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения ($f(x) \ge 0$) на интервалах вне корней, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

4)

Решим неравенство $5x \ge 8(x-3) - 17$.

Раскроем скобки в правой части:

$5x \ge 8x - 24 - 17$

Приведем подобные слагаемые:

$5x \ge 8x - 41$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые — в правую:

$5x - 8x \ge -41$

$-3x \ge -41$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-41}{-3}$

$x \le \frac{41}{3}$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $x \in (-\infty, \frac{41}{3}]$.

Ответ: $(-\infty, \frac{41}{3}]$.