Номер 19, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

19. 1) Разность арифметической прогрессии равна 0,4, а сумма первых шести её членов равна 30. Найдите десятый член прогрессии.

2) Упростите выражение

$(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{x-1})(x-\sqrt{x})$

3) Решите уравнение

$|2x - 7| = 3$

4) Найдите область определения функции

$y = \sqrt{x^2 - 5x}$

1) Дано: арифметическая прогрессия, разность $d = 0,4$, сумма первых шести членов $S_6 = 30$.
Найти: десятый член прогрессии $a_{10}$.
Решение:
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии.
Подставим известные значения для $n=6$:
$S_6 = \frac{2a_1 + 0,4(6-1)}{2} \cdot 6 = 30$
$(2a_1 + 0,4 \cdot 5) \cdot 3 = 30$
$2a_1 + 2 = \frac{30}{3}$
$2a_1 + 2 = 10$
$2a_1 = 8$
$a_1 = 4$
Теперь, зная первый член, найдем десятый член прогрессии по формуле $a_n = a_1 + d(n-1)$.
$a_{10} = a_1 + d(10-1) = 4 + 0,4 \cdot 9 = 4 + 3,6 = 7,6$.
Ответ: 7,6

2) Упростим выражение $(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{x-1})(x-\sqrt{x})$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$ и $x \neq 1$.
Сначала преобразуем выражение в первых скобках, приведя все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} + \frac{1(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} + \frac{2}{x-1}$
$= \frac{x+\sqrt{x}+\sqrt{x}-1+2}{x-1} = \frac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1}$
Числитель $x+2\sqrt{x}+1$ является полным квадратом: $(\sqrt{x}+1)^2$.
Получаем: $\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x-1} = \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$.
Теперь умножим полученный результат на вторую скобку $(x-\sqrt{x})$. Вынесем в ней $\sqrt{x}$ за скобки: $x-\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$.
$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}-1) = (\sqrt{x}+1)\sqrt{x} = x + \sqrt{x}$.
Ответ: $x + \sqrt{x}$

3) Решим уравнение $|2x - 7| = 3$.
Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно двум уравнениям: $A = B$ или $A = -B$.
Рассмотрим оба случая:
1) $2x - 7 = 3$
$2x = 10$
$x_1 = 5$

2) $2x - 7 = -3$
$2x = 4$
$x_2 = 2$
Ответ: 2; 5

4) Найдем область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 5x}$.
Область определения функции задается условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$x^2 - 5x \ge 0$
Разложим левую часть на множители:
$x(x - 5) \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x(x - 5) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разделяют ее на три интервала: $(-\infty, 0]$, $[0, 5]$ и $[5, \infty)$.
Определим знак выражения $x(x - 5)$ в каждом интервале:
- При $x < 0$ (например, $x = -1$): $(-1)(-1-5) = 6 > 0$. Интервал подходит.
- При $0 < x < 5$ (например, $x = 1$): $(1)(1-5) = -4 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x > 5$ (например, $x = 6$): $(6)(6-5) = 6 > 0$. Интервал подходит.
Точки $x=0$ и $x=5$ включаются в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge$).
Таким образом, область определения функции — это объединение двух промежутков.
Ответ: $(-\infty, 0] \cup [5, \infty)$