Номер 12, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

12. 1) Решите уравнение $\frac{2x^2 + 1}{3} - 1 = \frac{x^2 - 2x + 16}{8}$.

2) Решите неравенство $\frac{2y - 16}{y + 7} < 0$.

3) Решите уравнение $x - 10\sqrt{x} - 11 = 0$.

4) Сравните числа $\sqrt{6} + \sqrt{8}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{11}$.

1) Исходное уравнение:
$\frac{2x^2 + 1}{3} - 1 = \frac{x^2 - 2x + 16}{8}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{2x^2 + 1 - 3}{3} = \frac{x^2 - 2x + 16}{8}$
$\frac{2x^2 - 2}{3} = \frac{x^2 - 2x + 16}{8}$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 24, чтобы избавиться от дробей:
$8(2x^2 - 2) = 3(x^2 - 2x + 16)$
Раскроем скобки:
$16x^2 - 16 = 3x^2 - 6x + 48$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$16x^2 - 3x^2 + 6x - 16 - 48 = 0$
$13x^2 + 6x - 64 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-64) = 36 + 3328 = 3364$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3364} = 58$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-6 + 58}{2 \cdot 13} = \frac{52}{26} = 2$
$x_2 = \frac{-6 - 58}{2 \cdot 13} = \frac{-64}{26} = -\frac{32}{13}$
Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{32}{13}$.

2) Решим неравенство методом интервалов:
$\frac{2y - 16}{y + 7} < 0$
Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $2y - 16 = 0 \Rightarrow 2y = 16 \Rightarrow y = 8$.
Нуль знаменателя: $y + 7 = 0 \Rightarrow y = -7$.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $y = -7$ будет выколотой. Поскольку неравенство строгое ($<0$), точка $y = 8$ также будет выколотой.
Отметим точки -7 и 8 на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах:
- при $y > 8$ (например, $y=10$): $\frac{2(10)-16}{10+7} = \frac{4}{17} > 0$ (знак "+")
- при $-7 < y < 8$ (например, $y=0$): $\frac{2(0)-16}{0+7} = \frac{-16}{7} < 0$ (знак "-")
- при $y < -7$ (например, $y=-10$): $\frac{2(-10)-16}{-10+7} = \frac{-36}{-3} > 0$ (знак "+")
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля, то есть имеет знак "-".
Этот интервал: $(-7; 8)$.
Ответ: $y \in (-7; 8)$.

3) Дано уравнение:
$x - 10\sqrt{x} - 11 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку корень не может быть отрицательным, $t \ge 0$.
Тогда $x = t^2$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 10t - 11 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 10$
$t_1 \cdot t_2 = -11$
Корни: $t_1 = 11$ и $t_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = 11$ (удовлетворяет условию).
$t_2 = -1$ (не удовлетворяет условию, посторонний корень).
Выполним обратную замену для $t = 11$:
$\sqrt{x} = 11$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 11^2 = 121$.
Корень $x = 121$ удовлетворяет ОДЗ ($121 \ge 0$).
Ответ: $x=121$.

4) Сравним числа $\sqrt{6} + \sqrt{8}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{11}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Если $A > 0$ и $B > 0$, то $A > B \iff A^2 > B^2$.
Возведем в квадрат первое число:
$(\sqrt{6} + \sqrt{8})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 = 6 + 2\sqrt{48} + 8 = 14 + 2\sqrt{48}$.
Возведем в квадрат второе число:
$(\sqrt{3} + \sqrt{11})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 3 + 2\sqrt{33} + 11 = 14 + 2\sqrt{33}$.
Теперь сравним полученные выражения: $14 + 2\sqrt{48}$ и $14 + 2\sqrt{33}$.
Отбросим одинаковую часть (14) и сравним $2\sqrt{48}$ и $2\sqrt{33}$.
Это эквивалентно сравнению $\sqrt{48}$ и $\sqrt{33}$.
Так как функция $y = \sqrt{x}$ возрастающая, то чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.
Сравниваем подкоренные выражения: $48 > 33$.
Следовательно, $\sqrt{48} > \sqrt{33}$, а значит $14 + 2\sqrt{48} > 14 + 2\sqrt{33}$.
Таким образом, $(\sqrt{6} + \sqrt{8})^2 > (\sqrt{3} + \sqrt{11})^2$.
Поскольку исходные числа были положительны, то $\sqrt{6} + \sqrt{8} > \sqrt{3} + \sqrt{11}$.
Ответ: $\sqrt{6} + \sqrt{8} > \sqrt{3} + \sqrt{11}$.