Номер 13, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

13. 1) Вычислите

$(-\frac{2}{5})^2 \cdot (-\frac{4}{3})^{-3} - (0,3)^{-3} \cdot (-0,3)^4 - (\frac{71}{9})^0 : (-\frac{3}{2})^{-2}$

2) Упростите выражение

$(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \cdot \frac{x^2+x}{4x}$

3) Постройте график функции

$y = x^2 - 3x + 1$

4) Произведение двух целых чисел равно 30, а их сумма равна 11. Найдите эти числа.

1) Вычислите
Выполним вычисления по действиям.
Исходное выражение: $ (\frac{2}{5})^2 \cdot (-1\frac{1}{3})^{-3} - (0,3)^{-3} \cdot (-0,3)^4 - (7\frac{8}{9})^0 : (-1\frac{1}{2})^{-2} $.

1. Вычислим первое слагаемое: $ (\frac{2}{5})^2 \cdot (-1\frac{1}{3})^{-3} $.
$ (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25} $
$ -1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3} $
$ (-\frac{4}{3})^{-3} = (-\frac{3}{4})^3 = -\frac{27}{64} $
$ \frac{4}{25} \cdot (-\frac{27}{64}) = -\frac{4 \cdot 27}{25 \cdot 64} = -\frac{1 \cdot 27}{25 \cdot 16} = -\frac{27}{400} $.

2. Вычислим второе слагаемое: $ (0,3)^{-3} \cdot (-0,3)^4 $.
Так как степень 4 четная, $ (-0,3)^4 = (0,3)^4 $.
Используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ (0,3)^{-3} \cdot (0,3)^4 = (0,3)^{-3+4} = (0,3)^1 = 0,3 $.

3. Вычислим третье слагаемое: $ (7\frac{8}{9})^0 : (-1\frac{1}{2})^{-2} $.
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $ (7\frac{8}{9})^0 = 1 $.
$ -1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2} $
$ (-\frac{3}{2})^{-2} = (-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} $
$ 1 : \frac{4}{9} = 1 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{4} $.

4. Соберем все части вместе:
$ -\frac{27}{400} - 0,3 - \frac{9}{4} $
Переведем все в обыкновенные дроби с общим знаменателем 400.
$ 0,3 = \frac{3}{10} = \frac{120}{400} $
$ \frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 100}{4 \cdot 100} = \frac{900}{400} $
$ -\frac{27}{400} - \frac{120}{400} - \frac{900}{400} = \frac{-27 - 120 - 900}{400} = \frac{-1047}{400} = -2,6175 $.

Ответ: -2,6175.

2) Упростите выражение
Исходное выражение: $ (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \cdot \frac{x^2+x}{4x} $.

1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ (x-1)(x+1) $:
$ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+1) - 1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1-x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2-1} $.

2. Упростим вторую дробь, вынеся общий множитель в числителе:
$ \frac{x^2+x}{4x} = \frac{x(x+1)}{4x} $.
Сократим на $ x $ (при условии, что $ x \ne 0 $):
$ \frac{x+1}{4} $.

3. Перемножим полученные выражения:
$ \frac{2}{x^2-1} \cdot \frac{x+1}{4} $
Разложим знаменатель $ x^2-1 $ на множители по формуле разности квадратов: $ x^2-1 = (x-1)(x+1) $.
$ \frac{2}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{4} = \frac{2 \cdot (x+1)}{4 \cdot (x-1)(x+1)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ 2(x+1) $ (при условии, что $ x \ne -1 $):
$ \frac{1}{2(x-1)} $.

Ответ: $ \frac{1}{2(x-1)} $.

3) Постройте график функции
Функция $ y = x^2 - 3x + 1 $ является квадратичной, ее график — парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $ x^2 $ равен $ a=1 $, так как $ a > 0 $, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $ (x_v; y_v) $.
$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5 $.
$ y_v = (1,5)^2 - 3 \cdot (1,5) + 1 = 2,25 - 4,5 + 1 = -1,25 $.
Вершина параболы находится в точке $ (1,5; -1,25) $.

3. Найдем точку пересечения с осью Oy. Для этого подставим $ x=0 $:
$ y = 0^2 - 3 \cdot 0 + 1 = 1 $.
График пересекает ось Oy в точке $ (0; 1) $.

4. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции). Для этого решим уравнение $ x^2 - 3x + 1 = 0 $.
Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 $.
$ x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0,38 $; $ x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2,62 $.
Точки пересечения с осью Ox: $ (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; 0) $ и $ (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; 0) $.

5. Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси параболы $ x=1,5 $.
- Если $ x=1 $, $ y = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = -1 $. Точка $ (1; -1) $.
- Если $ x=2 $, $ y = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = -1 $. Точка $ (2; -1) $.
- Если $ x=0 $, $ y = 1 $. Точка $ (0; 1) $.
- Если $ x=3 $, $ y = 3^2 - 3 \cdot 3 + 1 = 1 $. Точка $ (3; 1) $.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $ (1,5; -1,25) $. График пересекает ось Oy в точке $ (0; 1) $ и ось Ox в точках $ (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; 0) $ и $ (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; 0) $.

4) Произведение двух целых чисел равно 30, а их сумма равна 11. Найдите эти числа.
Пусть искомые числа - это $ a $ и $ b $. По условию задачи мы можем составить систему уравнений:
$ \begin{cases} a \cdot b = 30 \\ a + b = 11 \end{cases} $

Согласно теореме Виета, эти числа являются корнями квадратного уравнения $ t^2 - 11t + 30 = 0 $.
Решим это уравнение. Можно найти корни подбором. Рассмотрим пары целых чисел, произведение которых равно 30:
1 и 30 (сумма 31)
2 и 15 (сумма 17)
3 и 10 (сумма 13)
5 и 6 (сумма 11)
Пара чисел 5 и 6 удовлетворяет условию, так как их сумма равна 11.
Проверка: $ 5 \cdot 6 = 30 $ и $ 5 + 6 = 11 $.

Ответ: 5 и 6.