Номер 14, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

14. 1) Вычислите $ \frac{1}{4} \cdot 5 + \frac{5}{12} : \left(2,5 \cdot \frac{1}{3} - 0,875\right) $.

2) Упростите выражение $ \frac{a}{a^2 - 4} + \frac{a}{a + 2} \cdot \left(\frac{a}{a^2 - a} - \frac{1}{a - 1}\right) $.

3) Постройте график функции $ y = 2x - x^2 $.

4) Сумма двух целых чисел равна 6, а их произведение равно –7. Найдите эти числа.

1) Вычислите $\frac{1}{4} \cdot 5 + \frac{5}{12} : \left(2,5 \cdot \frac{1}{3} - 0,875\right)$.

Решим по действиям. Сначала выполним действия в скобках, затем деление и умножение, и в конце сложение.
1. Вычислим выражение в скобках: $2,5 \cdot \frac{1}{3} - 0,875$.
Переведем десятичные дроби в обыкновенные для удобства вычислений:
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
$0,875 = \frac{875}{1000} = \frac{175}{200} = \frac{35}{40} = \frac{7}{8}$
Теперь выполним умножение в скобках:
$2,5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$
Теперь вычитание в скобках:
$\frac{5}{6} - \frac{7}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$\frac{5 \cdot 4}{24} - \frac{7 \cdot 3}{24} = \frac{20 - 21}{24} = -\frac{1}{24}$
2. Теперь вернемся к исходному выражению: $\frac{1}{4} \cdot 5 + \frac{5}{12} : \left(-\frac{1}{24}\right)$.
Выполним умножение:
$\frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$
Выполним деление:
$\frac{5}{12} : \left(-\frac{1}{24}\right) = \frac{5}{12} \cdot \left(-\frac{24}{1}\right) = - \frac{5 \cdot 24}{12} = - 5 \cdot 2 = -10$
3. Выполним сложение:
$\frac{5}{4} + (-10) = \frac{5}{4} - 10 = 1,25 - 10 = -8,75$

Ответ: -8,75

2) Упростите выражение $\frac{a}{a^2 - 4} + \frac{a}{a+2} \cdot \left(\frac{a}{a^2 - a} - \frac{1}{a-1}\right)$.

Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{a}{a^2 - a} - \frac{1}{a-1}$.
Разложим знаменатель первой дроби на множители: $a^2 - a = a(a-1)$.
$\frac{a}{a(a-1)} - \frac{1}{a-1}$. Сократим первую дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a-1} = 0$
Таким образом, все выражение в скобках равно 0.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{a}{a^2 - 4} + \frac{a}{a+2} \cdot 0$
Любое число, умноженное на 0, равно 0, поэтому второй член равен 0:
$\frac{a}{a^2 - 4} + 0 = \frac{a}{a^2 - 4}$
Упрощение справедливо при области допустимых значений (ОДЗ):
$a^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow a \neq \pm 2$
$a+2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2$
$a^2 - a \neq 0 \Rightarrow a(a-1) \neq 0 \Rightarrow a \neq 0$ и $a \neq 1$
$a-1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1$
ОДЗ: $a \notin \{-2, 0, 1, 2\}$.

Ответ: $\frac{a}{a^2-4}$

3) Постройте график функции $y = 2x - x^2$.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Запишем функцию в стандартном виде $y = -x^2 + 2x$.
1. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_0 = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$.
Вершина параболы находится в точке $(1; 1)$.
3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY (при $x=0$):
$y = -0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
С осью OX (при $y=0$):
$-x^2 + 2x = 0$
$x(-x + 2) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(2; 0)$.
4. Для более точного построения найдем еще несколько точек. Возьмем точки, симметричные относительно оси симметрии параболы $x=1$.
При $x = -1$: $y = -(-1)^2 + 2(-1) = -1 - 2 = -3$. Точка $(-1; -3)$.
При $x = 3$: $y = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$. Точка $(3; -3)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(1; 1)$. График проходит через точки $(-1; -3)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 0)$, $(3; -3)$.

4) Сумма двух целых чисел равна 6, а их произведение равно -7. Найдите эти числа.

Пусть искомые целые числа — это $x$ и $y$.
По условию задачи составим систему уравнений:
1) $x + y = 6$
2) $x \cdot y = -7$
Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим в это уравнение значения из нашей системы:
$t^2 - 6t - 7 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни подбором (по теореме Виета) или через дискриминант.
Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Таким образом, искомые числа — это 7 и -1.
Проверим:
Сумма: $7 + (-1) = 6$.
Произведение: $7 \cdot (-1) = -7$.
Оба условия выполняются.

Ответ: 7 и -1