Номер 15, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

15. 1) Вычислите $27\sqrt{1\frac{2}{3}} - 3\sqrt{60} - 15\sqrt{0.6} + 18\sqrt{2\frac{7}{9}}$.

2) Упростите выражение $\frac{1}{\left(\frac{a+2}{a-2} + \frac{a-2}{a+2} - \frac{16}{a^2-4}\right)} + 2$.

3) Постройте график функции $y = 0.2x^2 - 3$.

4) Произведение двух чисел равно 3.5, а их разность равна 6.5. Найдите эти числа.

1)

Для вычисления значения выражения $27\sqrt{1\frac{2}{3}} - 3\sqrt{60} - 15\sqrt{0,6} + 18\sqrt{2\frac{7}{9}}$ упростим каждый его член по отдельности.

1. Преобразуем смешанные и десятичные дроби под корнями в неправильные дроби и разложим числа на множители:

$27\sqrt{1\frac{2}{3}} = 27\sqrt{\frac{5}{3}} = 27 \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = 27 \cdot \frac{\sqrt{5}\sqrt{3}}{3} = 9\sqrt{15}$

$3\sqrt{60} = 3\sqrt{4 \cdot 15} = 3 \cdot 2\sqrt{15} = 6\sqrt{15}$

$15\sqrt{0,6} = 15\sqrt{\frac{6}{10}} = 15\sqrt{\frac{3}{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{15}$

$18\sqrt{2\frac{7}{9}} = 18\sqrt{\frac{2 \cdot 9 + 7}{9}} = 18\sqrt{\frac{25}{9}} = 18 \cdot \frac{5}{3} = 30$

2. Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$9\sqrt{15} - 6\sqrt{15} - 3\sqrt{15} + 30 = (9 - 6 - 3)\sqrt{15} + 30 = 0 \cdot \sqrt{15} + 30 = 30$

Ответ: 30

2)

Упростим выражение $\frac{1}{(\frac{a+2}{a-2} + \frac{a-2}{a+2} - \frac{16}{a^2-4})} + 2$. Область допустимых значений переменной $a$: $a \neq \pm 2$.

1. Сначала выполним действия в скобках в знаменателе. Общий знаменатель для дробей: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.

$\frac{a+2}{a-2} + \frac{a-2}{a+2} - \frac{16}{a^2-4} = \frac{(a+2)(a+2)}{(a-2)(a+2)} + \frac{(a-2)(a-2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{16}{a^2-4}$

2. Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{(a^2+4a+4) + (a^2-4a+4) - 16}{a^2-4} = \frac{2a^2+8-16}{a^2-4} = \frac{2a^2 - 8}{a^2-4}$

3. Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(a^2 - 4)}{a^2 - 4} = 2$

4. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{1}{2} + 2 = 0,5 + 2 = 2,5$

Ответ: 2,5

3)

Чтобы построить график функции $y = 0,2x^2 - 3$, определим его основные свойства и найдем координаты нескольких ключевых точек.

1. График данной функции — парабола, так как это квадратичная функция.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $0,2$. Так как он положителен ($0,2 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

3. График функции $y = 0,2x^2 - 3$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем двух преобразований: сжатием вдоль оси OY к оси OX в 5 раз (или с коэффициентом 0,2) и смещением на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

4. Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$. Ось симметрии — прямая $x=0$ (ось OY).

5. Найдем координаты нескольких точек для более точного построения:
- при $x=0, y = 0,2(0)^2 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$ (вершина).
- при $x=2, y = 0,2(2)^2 - 3 = 0,2 \cdot 4 - 3 = 0,8 - 3 = -2,2$. Точка $(2, -2,2)$.
- при $x=-2, y = -2,2$ (в силу симметрии). Точка $(-2, -2,2)$.
- при $x=5, y = 0,2(5)^2 - 3 = 0,2 \cdot 25 - 3 = 5 - 3 = 2$. Точка $(5, 2)$.
- при $x=-5, y=2$ (в силу симметрии). Точка $(-5, 2)$.
Для построения графика необходимо отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией.

Ответ: График функции $y = 0,2x^2 - 3$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которой направлены вверх. График проходит через точки $(\pm 2, -2,2)$ и $(\pm 5, 2)$.

4)

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. По условию задачи можно составить систему уравнений:

$\begin{cases} x \cdot y = 3,5 \\ x - y = 6,5 \end{cases}$

1. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = y + 6,5$

2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + 6,5) \cdot y = 3,5$

3. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:

$y^2 + 6,5y - 3,5 = 0$

4. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все члены уравнения на 2:

$2y^2 + 13y - 7 = 0$

5. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$

6. Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-13 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7$

$y_2 = \frac{-13 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

7. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$ :
- Если $y_1 = -7$, то $x_1 = -7 + 6,5 = -0,5$.
- Если $y_2 = 0,5$, то $x_2 = 0,5 + 6,5 = 7$.

Таким образом, мы получили две пары чисел: $(-0,5; -7)$ и $(7; 0,5)$. В обоих случаях это один и тот же набор чисел.

Ответ: 7 и 0,5.