Номер 17, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

17. 1) Вычислите $351^3 - 351^2 - 351 \cdot 350 - 350^2 - 350^3$.

2) Постройте график функции $y = \frac{6}{x}$.

3) Десятый член арифметической прогрессии равен 17, а пятый член равен 4. Найдите сумму первых пятнадцати членов этой прогрессии.

4) Решите систему уравнений $\begin{cases} xy = -8, \\ x + 2y = 0. \end{cases}$

1) Чтобы вычислить значение выражения $351^3 - 351^2 - 351 \cdot 350 - 350^2 - 350^3$, сгруппируем слагаемые и воспользуемся алгебраическими формулами.

Перегруппируем члены выражения следующим образом:

$(351^3 - 350^3) - (351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2)$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ к первой скобке, где $a = 351$ и $b = 350$:

$351^3 - 350^3 = (351 - 350)(351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2)$

Так как $351 - 350 = 1$, выражение упрощается до:

$1 \cdot (351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2) = 351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2$

Теперь подставим это обратно в преобразованное исходное выражение:

$(351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2) - (351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2) = 0$

Ответ: 0

2) Функция $y = \frac{6}{x}$ представляет собой обратную пропорциональность. Её график — гипербола.

Основные свойства графика:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. Запись: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. Запись: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Так как коэффициент $k=6$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
• График симметричен относительно начала координат.
• Оси координат являются асимптотами для графика: прямая $x=0$ (ось Oy) — вертикальная асимптота, прямая $y=0$ (ось Ox) — горизонтальная асимптота.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

График строится как две плавные кривые, проходящие через эти точки и приближающиеся к осям координат.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях и асимптотами $x=0$ и $y=0$.

3) Пусть $a_n$ — арифметическая прогрессия. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи, $a_{10} = 17$ и $a_5 = 4$. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + (10-1)d = 17 \\ a_1 + (5-1)d = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} a_1 + 9d = 17 \\ a_1 + 4d = 4 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого для нахождения $d$:

$(a_1 + 9d) - (a_1 + 4d) = 17 - 4$

$5d = 13$

$d = \frac{13}{5} = 2,6$

Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 4(2,6) = 4$

$a_1 + 10,4 = 4$

$a_1 = 4 - 10,4 = -6,4$

Теперь найдем сумму первых пятнадцати членов $S_{15}$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$S_{15} = \frac{2 \cdot (-6,4) + (15-1) \cdot 2,6}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{-12,8 + 14 \cdot 2,6}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{-12,8 + 36,4}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{23,6}{2} \cdot 15 = 11,8 \cdot 15 = 177$

Ответ: 177

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy = -8 \\ x + 2y = 0 \end{cases}$

Для решения используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = -2y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(-2y) \cdot y = -8$

$-2y^2 = -8$

Разделим обе части на -2:

$y^2 = 4$

Уравнение имеет два корня:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -2$

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = -2y$:

При $y_1 = 2$, $x_1 = -2 \cdot 2 = -4$.

При $y_2 = -2$, $x_2 = -2 \cdot (-2) = 4$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(-4; 2)$, $(4; -2)$