Страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

17. 1) Вычислите $351^3 - 351^2 - 351 \cdot 350 - 350^2 - 350^3$.

2) Постройте график функции $y = \frac{6}{x}$.

3) Десятый член арифметической прогрессии равен 17, а пятый член равен 4. Найдите сумму первых пятнадцати членов этой прогрессии.

4) Решите систему уравнений $\begin{cases} xy = -8, \\ x + 2y = 0. \end{cases}$

1) Чтобы вычислить значение выражения $351^3 - 351^2 - 351 \cdot 350 - 350^2 - 350^3$, сгруппируем слагаемые и воспользуемся алгебраическими формулами.

Перегруппируем члены выражения следующим образом:

$(351^3 - 350^3) - (351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2)$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ к первой скобке, где $a = 351$ и $b = 350$:

$351^3 - 350^3 = (351 - 350)(351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2)$

Так как $351 - 350 = 1$, выражение упрощается до:

$1 \cdot (351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2) = 351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2$

Теперь подставим это обратно в преобразованное исходное выражение:

$(351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2) - (351^2 + 351 \cdot 350 + 350^2) = 0$

Ответ: 0

2) Функция $y = \frac{6}{x}$ представляет собой обратную пропорциональность. Её график — гипербола.

Основные свойства графика:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. Запись: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. Запись: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Так как коэффициент $k=6$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
• График симметричен относительно начала координат.
• Оси координат являются асимптотами для графика: прямая $x=0$ (ось Oy) — вертикальная асимптота, прямая $y=0$ (ось Ox) — горизонтальная асимптота.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

График строится как две плавные кривые, проходящие через эти точки и приближающиеся к осям координат.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях и асимптотами $x=0$ и $y=0$.

3) Пусть $a_n$ — арифметическая прогрессия. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи, $a_{10} = 17$ и $a_5 = 4$. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + (10-1)d = 17 \\ a_1 + (5-1)d = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} a_1 + 9d = 17 \\ a_1 + 4d = 4 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого для нахождения $d$:

$(a_1 + 9d) - (a_1 + 4d) = 17 - 4$

$5d = 13$

$d = \frac{13}{5} = 2,6$

Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 4(2,6) = 4$

$a_1 + 10,4 = 4$

$a_1 = 4 - 10,4 = -6,4$

Теперь найдем сумму первых пятнадцати членов $S_{15}$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$S_{15} = \frac{2 \cdot (-6,4) + (15-1) \cdot 2,6}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{-12,8 + 14 \cdot 2,6}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{-12,8 + 36,4}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{23,6}{2} \cdot 15 = 11,8 \cdot 15 = 177$

Ответ: 177

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy = -8 \\ x + 2y = 0 \end{cases}$

Для решения используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = -2y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(-2y) \cdot y = -8$

$-2y^2 = -8$

Разделим обе части на -2:

$y^2 = 4$

Уравнение имеет два корня:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -2$

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = -2y$:

При $y_1 = 2$, $x_1 = -2 \cdot 2 = -4$.

При $y_2 = -2$, $x_2 = -2 \cdot (-2) = 4$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(-4; 2)$, $(4; -2)$

18. 1) Решите графическим способом уравнение $\frac{12}{x} = 1 - x$.

2) Двадцатый член арифметической прогрессии равен 20, а сумма первых двадцати членов равна 430. Найдите разность прогрессии.

3) Найдите область определения функции $y = \frac{1}{1+x}$.

4) Решите неравенство $20 - \frac{1}{5}x > 0$.

1) Для того чтобы решить уравнение $ \frac{12}{x} = 1 - x $ графическим способом, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y = \frac{12}{x} $ и $ y = 1 - x $. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.
1. Построим график функции $ y = \frac{12}{x} $. Это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:
- при $x=2, y=6$
- при $x=3, y=4$
- при $x=4, y=3$
- при $x=6, y=2$
- при $x=-2, y=-6$
- при $x=-3, y=-4$
- при $x=-4, y=-3$
- при $x=-6, y=-2$
2. Построим график функции $ y = 1 - x $. Это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек, например: (0, 1) и (1, 0).
3. Разместив оба графика в одной системе координат, мы видим, что они не пересекаются. В III четверти ($x < 0$) ветвь гиперболы находится ниже оси абсцисс ($y < 0$), в то время как прямая находится выше оси абсцисс ($y > 0$). В I четверти ($x > 0$) графики также не имеют общих точек. Это можно подтвердить аналитически: преобразовав уравнение к виду $ x^2 - x + 12 = 0 $, мы найдем, что его дискриминант $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47 < 0 $, что означает отсутствие действительных корней.
Так как графики не имеют точек пересечения, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

2) По условию задачи дан двадцатый член арифметической прогрессии $ a_{20} = 20 $ и сумма первых двадцати членов $ S_{20} = 430 $. Необходимо найти разность прогрессии $d$.
Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $.
Подставим в нее известные нам значения для $n=20$:
$ 430 = \frac{a_1 + 20}{2} \cdot 20 $
Сократим дробь и число 20:
$ 430 = (a_1 + 20) \cdot 10 $
Разделим обе части уравнения на 10:
$ 43 = a_1 + 20 $
Найдем первый член прогрессии $a_1$:
$ a_1 = 43 - 20 = 23 $
Теперь используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $ a_n = a_1 + (n-1)d $.
Подставим известные значения $a_1$, $a_{20}$ и $n=20$:
$ 20 = 23 + (20-1)d $
$ 20 = 23 + 19d $
$ 19d = 20 - 23 $
$ 19d = -3 $
$ d = -\frac{3}{19} $
Ответ: $ -\frac{3}{19} $.

3) Областью определения функции называется множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.
Дана функция $ y = \frac{1}{1+x} $.
Данное выражение является дробью. Дробь определена только в том случае, если ее знаменатель не равен нулю.
Поэтому для нахождения области определения функции необходимо решить неравенство:
$ 1 + x \neq 0 $
$ x \neq -1 $
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -1$.
Ответ: $ x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty) $.

4) Для решения линейного неравенства $ 20 - \frac{1}{5}x > 0 $ необходимо изолировать переменную $x$.
Перенесем слагаемое $ -\frac{1}{5}x $ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$ 20 > \frac{1}{5}x $
Теперь умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$ 20 \cdot 5 > x $
$ 100 > x $
Запишем решение в более привычном виде:
$ x < 100 $
Это означает, что решением являются все числа, меньшие 100.
Ответ: $ x \in (-\infty; 100) $.

19. 1) Разность арифметической прогрессии равна 0,4, а сумма первых шести её членов равна 30. Найдите десятый член прогрессии.

2) Упростите выражение

$(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{x-1})(x-\sqrt{x})$

3) Решите уравнение

$|2x - 7| = 3$

4) Найдите область определения функции

$y = \sqrt{x^2 - 5x}$

1) Дано: арифметическая прогрессия, разность $d = 0,4$, сумма первых шести членов $S_6 = 30$.
Найти: десятый член прогрессии $a_{10}$.
Решение:
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии.
Подставим известные значения для $n=6$:
$S_6 = \frac{2a_1 + 0,4(6-1)}{2} \cdot 6 = 30$
$(2a_1 + 0,4 \cdot 5) \cdot 3 = 30$
$2a_1 + 2 = \frac{30}{3}$
$2a_1 + 2 = 10$
$2a_1 = 8$
$a_1 = 4$
Теперь, зная первый член, найдем десятый член прогрессии по формуле $a_n = a_1 + d(n-1)$.
$a_{10} = a_1 + d(10-1) = 4 + 0,4 \cdot 9 = 4 + 3,6 = 7,6$.
Ответ: 7,6

2) Упростим выражение $(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{x-1})(x-\sqrt{x})$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$ и $x \neq 1$.
Сначала преобразуем выражение в первых скобках, приведя все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} + \frac{1(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} + \frac{2}{x-1}$
$= \frac{x+\sqrt{x}+\sqrt{x}-1+2}{x-1} = \frac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1}$
Числитель $x+2\sqrt{x}+1$ является полным квадратом: $(\sqrt{x}+1)^2$.
Получаем: $\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x-1} = \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$.
Теперь умножим полученный результат на вторую скобку $(x-\sqrt{x})$. Вынесем в ней $\sqrt{x}$ за скобки: $x-\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$.
$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}-1) = (\sqrt{x}+1)\sqrt{x} = x + \sqrt{x}$.
Ответ: $x + \sqrt{x}$

3) Решим уравнение $|2x - 7| = 3$.
Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно двум уравнениям: $A = B$ или $A = -B$.
Рассмотрим оба случая:
1) $2x - 7 = 3$
$2x = 10$
$x_1 = 5$

2) $2x - 7 = -3$
$2x = 4$
$x_2 = 2$
Ответ: 2; 5

4) Найдем область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 5x}$.
Область определения функции задается условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$x^2 - 5x \ge 0$
Разложим левую часть на множители:
$x(x - 5) \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x(x - 5) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разделяют ее на три интервала: $(-\infty, 0]$, $[0, 5]$ и $[5, \infty)$.
Определим знак выражения $x(x - 5)$ в каждом интервале:
- При $x < 0$ (например, $x = -1$): $(-1)(-1-5) = 6 > 0$. Интервал подходит.
- При $0 < x < 5$ (например, $x = 1$): $(1)(1-5) = -4 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x > 5$ (например, $x = 6$): $(6)(6-5) = 6 > 0$. Интервал подходит.
Точки $x=0$ и $x=5$ включаются в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge$).
Таким образом, область определения функции — это объединение двух промежутков.
Ответ: $(-\infty, 0] \cup [5, \infty)$

20. 1) Первый член арифметической прогрессии равен 1,5, а сумма первых двадцати членов равна 505. Найдите разность прогрессии. Есть ли среди членов прогрессии число 29?

2) Упростите выражение

$c+\left(\frac{c^3-1}{c-1}-2c\right):\left(c^2-c+1\right).$

3) Найдите область определения функции

$y=\sqrt{(x-2)(x-3)}.$

4) Решите неравенство $5x \geq 8(x - 3) - 17.$

1)

Дана арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 1,5$ и сумма первых двадцати членов $S_{20} = 505$.

Для нахождения разности прогрессии $d$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $n=20$, $a_1=1,5$ и $S_{20}=505$:

$505 = \frac{2 \cdot 1,5 + d(20-1)}{2} \cdot 20$

$505 = (3 + 19d) \cdot 10$

$50,5 = 3 + 19d$

$19d = 50,5 - 3$

$19d = 47,5$

$d = \frac{47,5}{19} = 2,5$

Теперь проверим, является ли число 29 членом этой прогрессии. Для этого воспользуемся формулой $n$-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Подставим $a_n = 29$, $a_1 = 1,5$ и $d = 2,5$ и найдем номер члена $n$:

$29 = 1,5 + 2,5(n-1)$

$29 - 1,5 = 2,5(n-1)$

$27,5 = 2,5(n-1)$

$n-1 = \frac{27,5}{2,5} = \frac{275}{25} = 11$

$n = 11 + 1 = 12$

Так как $n=12$ является натуральным числом, то число 29 является 12-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: разность прогрессии равна 2,5; да, число 29 является членом прогрессии.

2)

Упростим выражение $c + \left(\frac{c^3 - 1}{c - 1} - 2c\right) : (c^2 - c + 1)$. Согласно порядку действий, сначала выполняем действия в скобках, затем деление, и в конце — сложение.

1. Упростим выражение в первых скобках: $\frac{c^3 - 1}{c - 1} - 2c$.

Числитель дроби $c^3 - 1$ — это разность кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$c^3 - 1^3 = (c-1)(c^2 + c \cdot 1 + 1^2) = (c-1)(c^2 + c + 1)$.

Подставим разложение в дробь и сократим (при условии, что $c-1 \neq 0$, то есть $c \neq 1$):

$\frac{(c-1)(c^2 + c + 1)}{c - 1} - 2c = (c^2 + c + 1) - 2c = c^2 - c + 1$.

2. Теперь выполним деление. Результат из скобок делим на $(c^2 - c + 1)$:

$(c^2 - c + 1) : (c^2 - c + 1) = 1$.

3. Последним действием выполним сложение:

$c + 1$.

Выражение определено при $c \neq 1$.

Ответ: $c+1$.

3)

Найдем область определения функции $y = \sqrt{(x-2)(x-3)}$.

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$(x-2)(x-3) \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x-2)(x-3) = 0$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 2]$, $[2, 3]$ и $[3, \infty)$.

Графиком функции $f(x) = (x-2)(x-3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения ($f(x) \ge 0$) на интервалах вне корней, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

4)

Решим неравенство $5x \ge 8(x-3) - 17$.

Раскроем скобки в правой части:

$5x \ge 8x - 24 - 17$

Приведем подобные слагаемые:

$5x \ge 8x - 41$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые — в правую:

$5x - 8x \ge -41$

$-3x \ge -41$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-41}{-3}$

$x \le \frac{41}{3}$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $x \in (-\infty, \frac{41}{3}]$.

Ответ: $(-\infty, \frac{41}{3}]$.