Страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1251. На 720 р. должны были приобрести несколько радиоприёмников, но цена каждого из них снизилась на 24 р., поэтому купили на один радиоприёмник больше, чем планировалось. Сколько купили радиоприёмников, если их цена одинаковая?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество радиоприёмников, которое планировалось купить, а $y$ — их первоначальная цена в рублях.

Согласно условию, на покупку планировалось потратить 720 рублей. Это можно выразить уравнением:

$x \cdot y = 720$

По условию, цена каждого радиоприёмника снизилась на 24 рубля, то есть новая цена составила $y - 24$ рублей. При этом купили на один радиоприёмник больше, чем планировалось, то есть $x + 1$ штук. Общая стоимость покупки осталась прежней — 720 рублей. Составим второе уравнение:

$(x + 1) \cdot (y - 24) = 720$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x \cdot y = 720 \\ (x+1)(y-24) = 720 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим цену $y$ через количество $x$:

$y = \frac{720}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$(x + 1) \cdot (\frac{720}{x} - 24) = 720$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \frac{720}{x} - x \cdot 24 + 1 \cdot \frac{720}{x} - 1 \cdot 24 = 720$

$720 - 24x + \frac{720}{x} - 24 = 720$

Вычтем 720 из обеих частей уравнения:

$-24x + \frac{720}{x} - 24 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на $x$. Так как $x$ — это количество приёмников, оно не может быть равно нулю ($x > 0$).

$-24x^2 + 720 - 24x = 0$

Расположим члены уравнения в стандартном порядке и для удобства разделим все уравнение на -24:

$x^2 + x - 30 = 0$

Мы получили приведённое квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -30. Этим условиям удовлетворяют числа -6 и 5.

$x_1 = 5$, $x_2 = -6$.

Так как $x$ обозначает количество радиоприёмников, оно не может быть отрицательным числом. Следовательно, единственное подходящее решение — это $x = 5$.

Таким образом, изначально планировалось купить 5 радиоприёмников.

В вопросе задачи спрашивается, сколько радиоприёмников купили в итоге. По условию, купили на один приёмник больше, чем планировалось:

$x_{куплено} = x + 1 = 5 + 1 = 6$

Проверка:
Планировали купить 5 приёмников, цена была бы $720 / 5 = 144$ руб.
Новая цена: $144 - 24 = 120$ руб.
Купили: $720 / 120 = 6$ приёмников.
Это на $6 - 5 = 1$ приёмник больше. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 6.

1252. При постройке здания требовалось вынуть $8000 \text{ м}^3$ земли в определённый срок. Работа была закончена раньше срока на 8 дней, так как бригада ежедневно перевыполняла план на $50 \text{ м}^3$. Определите, в какой срок должна была быть выполнена работа, а также ежедневный процент выполнения плана.

Для решения задачи введем переменные:

• $V$ — общий объем работы, равный $8000 \text{ м}^3$.
• $t$ — планируемый срок выполнения работы в днях.
• $p_{план}$ — планируемая ежедневная производительность (объем работ в день).

Исходя из этих обозначений, можно выразить другие величины из условия задачи:

• Планируемая ежедневная производительность: $p_{план} = \frac{V}{t} = \frac{8000}{t}$.
• Фактический срок выполнения работы был на 8 дней меньше: $t_{факт} = t - 8$ дней.
• Фактическая ежедневная производительность была на $50 \text{ м}^3$ больше: $p_{факт} = p_{план} + 50 = \frac{8000}{t} + 50$.

Общий объем работы равен произведению фактической производительности на фактическое время:

$V = p_{факт} \cdot t_{факт}$

Подставим известные значения и выражения в это уравнение:

$8000 = \left(\frac{8000}{t} + 50\right) \cdot (t - 8)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $t$. Для этого раскроем скобки:

$8000 = \frac{8000}{t} \cdot t - \frac{8000}{t} \cdot 8 + 50 \cdot t - 50 \cdot 8$

$8000 = 8000 - \frac{64000}{t} + 50t - 400$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы приравнять его к нулю:

$8000 - 8000 + \frac{64000}{t} - 50t + 400 = 0$

$\frac{64000}{t} - 50t + 400 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $t$ (при условии, что $t \neq 0$, что является верным, так как $t$ — это срок в днях):

$64000 - 50t^2 + 400t = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на $-50$ и приведем его к стандартному виду $at^2 + bt + c = 0$:

$t^2 - 8t - 1280 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1280) = 64 + 5120 = 5184$

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{5184}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 72}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{5184}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 72}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Поскольку срок выполнения работы ($t$) не может быть отрицательной величиной, единственным верным решением является $t = 40$.

в какой срок должна была быть выполнена работа

Исходя из решения уравнения, планируемый срок, в который должна была быть выполнена работа, составляет 40 дней.

Ответ: 40 дней.

ежедневный процент выполнения плана

Для определения ежедневного процента выполнения плана необходимо найти плановую и фактическую производительность.

Плановая ежедневная производительность: $p_{план} = \frac{\text{Общий объем}}{\text{Плановый срок}} = \frac{8000 \text{ м}^3}{40 \text{ дней}} = 200 \text{ м}^3/\text{день}$.

Фактическая ежедневная производительность была на $50 \text{ м}^3$ больше: $p_{факт} = 200 + 50 = 250 \text{ м}^3/\text{день}$.

Теперь рассчитаем, какой процент фактическая производительность составляет от плановой:

$\frac{p_{факт}}{p_{план}} \cdot 100\% = \frac{250 \text{ м}^3/\text{день}}{200 \text{ м}^3/\text{день}} \cdot 100\% = 1,25 \cdot 100\% = 125\%$

Ответ: 125%.

1253. Бригада трактористов должна была вспахать участок целины площадью 120 га. Однако бригаде удалось увеличить норму дневной выработки на 2 га. В результате срок вспашки сократился на 2 дня. Каково было дневное задание бригаде и в какой срок нужно было выполнить работу?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это плановая дневная норма выработки (дневное задание) в гектарах в день (га/день), а $t$ — плановый срок выполнения работы в днях.

Общая площадь участка, который нужно было вспахать, составляет 120 га. Связь между работой, производительностью и временем для плановых показателей выражается уравнением:
$120 = x \cdot t$
Из этого уравнения мы можем выразить плановый срок $t$ через плановую норму $x$:
$t = \frac{120}{x}$

По условию задачи, бригада увеличила норму дневной выработки на 2 га, следовательно, фактическая норма составила $(x + 2)$ га/день. В результате срок вспашки сократился на 2 дня, то есть фактическое время работы составило $(t - 2)$ дней. За это время была выполнена та же работа, что описывается вторым уравнением:
$120 = (x + 2) \cdot (t - 2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе:
$120 = (x + 2) \cdot (\frac{120}{x} - 2)$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$120 = (x + 2) \cdot (\frac{120 - 2x}{x})$
Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что логично, так как норма выработки не может быть нулевой):
$120x = (x + 2)(120 - 2x)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$120x = 120x - 2x^2 + 240 - 4x$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$120x - 120x + 2x^2 - 240 + 4x = 0$
$2x^2 + 4x - 240 = 0$
Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$x^2 + 2x - 120 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$
$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку $x$ представляет собой дневную норму выработки, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -12$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Таким образом, плановое дневное задание составляло 10 га/день.

Теперь, зная плановую норму, мы можем найти плановый срок выполнения работы:
$t = \frac{120}{x} = \frac{120}{10} = 12$ дней.

Каково было дневное задание бригаде и в какой срок нужно было выполнить работу?
На основании проведенных вычислений, плановое дневное задание для бригады составляло 10 гектаров, и выполнить эту работу нужно было в срок 12 дней.
Ответ: дневное задание бригаде было 10 га, а срок, в который нужно было выполнить работу, — 12 дней.

1254. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 48 км. Отчалив от пристани $A$ в 9 ч утра, теплоход поплыл по течению реки до пристани $B$. Простояв у пристани $B$ один час, теплоход отправился в обратный рейс и прибыл к пристани $A$ в 17 ч того же дня. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода, если известно, что на пути от пристани $A$ до пристани $B$ и от пристани $B$ до пристани $A$ она была одна и та же.

Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость течения реки составляет 2 км/ч, а расстояние между пристанями А и В равно 48 км.
Таким образом, скорость теплохода по течению (от А до В) будет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения (от В до А) — $(x - 2)$ км/ч.

Теплоход отправился в 9:00 и вернулся в 17:00, значит, общее время путешествия составило:
$17 - 9 = 8$ часов.
Из этого времени 1 час был потрачен на стоянку у пристани В. Следовательно, время, которое теплоход находился в движении, равно:
$8 - 1 = 7$ часов.

Время, затраченное на путь от А до В (по течению), вычисляется как $t_1 = \frac{48}{x + 2}$ ч.
Время, затраченное на обратный путь от В до А (против течения), вычисляется как $t_2 = \frac{48}{x - 2}$ ч.
Суммарное время движения равно 7 часам, что позволяет составить уравнение:
$\frac{48}{x + 2} + \frac{48}{x - 2} = 7$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$. Важно отметить, что собственная скорость теплохода $x$ должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.
$\frac{48(x - 2) + 48(x + 2)}{x^2 - 4} = 7$
$\frac{48x - 96 + 48x + 96}{x^2 - 4} = 7$
$\frac{96x}{x^2 - 4} = 7$
Умножим обе части на $(x^2 - 4)$:
$96x = 7(x^2 - 4)$
$96x = 7x^2 - 28$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$7x^2 - 96x - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-96)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 9216 + 784 = 10000$
$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{96 + 100}{2 \cdot 7} = \frac{196}{14} = 14$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{96 - 100}{2 \cdot 7} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$

Корень $x_2 = -2/7$ не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 14$ является искомым значением, так как он удовлетворяет условию $x > 2$.
Ответ: собственная скорость теплохода 14 км/ч.

1255. Колонна солдат длиной $l$ м движется со скоростью $x$ м/мин. Из конца колонны в её начало отправляется сержант со скоростью $y$ м/мин, затем с той же скоростью он возвращается в конец колонны. На путь туда и обратно сержант затратил $t$ мин.

а) Выразите $t, l, x, y$ через остальные величины.

б) Вычислите $t$, если $l = 510, x = 70, y = 100$.

а) Выразите t, l, x, y через остальные величины.

Обозначим:
$l$ - длина колонны в метрах (м),
$x$ - скорость колонны в метрах в минуту (м/мин),
$y$ - скорость сержанта в метрах в минуту (м/мин),
$t$ - общее время движения сержанта в минутах (мин).

Для решения задачи удобнее всего рассматривать движение в системе отсчета, связанной с землей.

1. Движение сержанта из конца колонны в ее начало.
Сержант догоняет голову колонны. Скорость сближения сержанта с головой колонны (их относительная скорость) равна разности их скоростей, так как они движутся в одном направлении: $v_{отн1} = y - x$.
Сержанту нужно преодолеть расстояние, равное длине колонны $l$. Время, затраченное на этот путь ($t_1$), составляет:
$t_1 = \frac{l}{y - x}$

2. Движение сержанта из начала колонны в ее конец.
Сержант возвращается обратно, двигаясь навстречу хвосту колонны. Их относительная скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{отн2} = y + x$.
Сержанту снова нужно преодолеть расстояние, равное длине колонны $l$. Время, затраченное на обратный путь ($t_2$), составляет:
$t_2 = \frac{l}{y + x}$

Выражение для $t$:
Общее время $t$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:
$t = t_1 + t_2 = \frac{l}{y - x} + \frac{l}{y + x}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y - x)(y + x) = y^2 - x^2$:
$t = l \left( \frac{y + x + y - x}{(y - x)(y + x)} \right) = l \frac{2y}{y^2 - x^2}$
Итак, формула для $t$: $t = \frac{2ly}{y^2 - x^2}$

Теперь, используя эту основную формулу, выразим остальные переменные.

Выражение для $l$:
Из $t = \frac{2ly}{y^2 - x^2}$ получаем $t(y^2 - x^2) = 2ly$.
Отсюда $l = \frac{t(y^2 - x^2)}{2y}$

Выражение для $x$:
Из $t(y^2 - x^2) = 2ly$ выразим $y^2 - x^2 = \frac{2ly}{t}$.
$x^2 = y^2 - \frac{2ly}{t}$
$x = \sqrt{y^2 - \frac{2ly}{t}}$ (скорость $x$ не может быть отрицательной).

Выражение для $y$:
Преобразуем основное уравнение $t(y^2 - x^2) = 2ly$ в квадратное уравнение относительно $y$:
$ty^2 - tx^2 = 2ly$
$ty^2 - 2ly - tx^2 = 0$
Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения $ay^2+by+c=0$, где $a=t, b=-2l, c=-tx^2$:
$y = \frac{-(-2l) \pm \sqrt{(-2l)^2 - 4(t)(-tx^2)}}{2t} = \frac{2l \pm \sqrt{4l^2 + 4t^2x^2}}{2t} = \frac{2l \pm 2\sqrt{l^2 + t^2x^2}}{2t}$
$y = \frac{l \pm \sqrt{l^2 + t^2x^2}}{t}$
Поскольку $\sqrt{l^2 + t^2x^2} > \sqrt{l^2} = l$, корень со знаком "минус" даст отрицательное значение скорости, что физически невозможно. Следовательно, выбираем корень со знаком "плюс":
$y = \frac{l + \sqrt{l^2 + t^2x^2}}{t}$

Ответ: $t = \frac{2ly}{y^2 - x^2}$, $l = \frac{t(y^2 - x^2)}{2y}$, $x = \sqrt{y^2 - \frac{2ly}{t}}$, $y = \frac{l + \sqrt{l^2 + t^2x^2}}{t}$

б) Вычислите t, если l = 510, x = 70, y = 100.

Для вычисления $t$ используем формулу, полученную в пункте а):
$t = \frac{2ly}{y^2 - x^2}$

Подставим в нее известные значения: $l = 510$ м, $x = 70$ м/мин, $y = 100$ м/мин.
$t = \frac{2 \cdot 510 \cdot 100}{100^2 - 70^2}$

Выполним вычисления:
Числитель: $2 \cdot 510 \cdot 100 = 1020 \cdot 100 = 102000$.
Знаменатель: $100^2 - 70^2 = 10000 - 4900 = 5100$.

Теперь найдем $t$:
$t = \frac{102000}{5100} = \frac{1020}{51} = 20$

Ответ: $t = 20$ мин.

1256. Колонна солдат длиной $l$ движется с постоянной скоростью по шоссе. Курьер из конца колонны отправился в её начало. Достигнув начала колонны, он тут же повернул обратно и пошёл в конец колонны с той же скоростью. За это время колонна прошла расстояние $s$. Определите расстояние, которое прошёл курьер в оба конца, если:

а) $l = 400$ м, $s = 300$ м;

б) $l = 300$ м, $s = 400$ м.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $l$ — длина колонны, $s$ — расстояние, которое прошла колонна за все время, $v_c$ — скорость колонны, $v_k$ — скорость курьера (она постоянна по модулю), $t_1$ — время движения курьера от конца колонны к её началу, $t_2$ — время движения курьера от начала колонны к её концу, $S_k$ — общее расстояние, которое прошел курьер.

Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с землей.

1. Когда курьер движется от конца колонны к началу, он догоняет голову колонны. Его скорость относительно головы колонны равна $v_k - v_c$. Расстояние, которое он должен преодолеть относительно колонны, равно её длине $l$. Время движения в этом случае: $t_1 = \frac{l}{v_k - v_c}$. За это время курьер пройдет расстояние $d_1 = v_k t_1 = \frac{l v_k}{v_k - v_c}$.

2. Когда курьер движется от начала колонны к концу, он движется навстречу хвосту колонны. Его скорость сближения с хвостом колонны равна $v_k + v_c$. Расстояние, которое он должен преодолеть, снова равно длине колонны $l$. Время движения в этом случае: $t_2 = \frac{l}{v_k + v_c}$. За это время курьер пройдет расстояние $d_2 = v_k t_2 = \frac{l v_k}{v_k + v_c}$.

Общее время движения курьера $T = t_1 + t_2$. За это время колонна прошла расстояние $s$: $s = v_c T = v_c (t_1 + t_2) = v_c \left(\frac{l}{v_k - v_c} + \frac{l}{v_k + v_c}\right) = v_c \cdot \frac{l(v_k+v_c) + l(v_k-v_c)}{(v_k - v_c)(v_k + v_c)} = \frac{2lv_k v_c}{v_k^2 - v_c^2}$.

Общее расстояние, которое прошел курьер, равно $S_k = d_1 + d_2 = v_k(t_1 + t_2)$. $S_k = v_k \left(\frac{l}{v_k - v_c} + \frac{l}{v_k + v_c}\right) = v_k \cdot \frac{2lv_k}{v_k^2 - v_c^2} = \frac{2lv_k^2}{v_k^2 - v_c^2}$.

Мы получили систему из двух уравнений с неизвестными скоростями $v_k$ и $v_c$. Выразим $S_k$ через $l$ и $s$. Из уравнений для $s$ и $S_k$ можно увидеть, что $\frac{S_k}{s} = \frac{v_k}{v_c}$. Преобразуем уравнение для $S_k$: $S_k(v_k^2 - v_c^2) = 2lv_k^2$. $S_k v_k^2 - S_k v_c^2 = 2lv_k^2$. $v_k^2(S_k - 2l) = S_k v_c^2 \implies \frac{v_k^2}{v_c^2} = \frac{S_k}{S_k - 2l}$.

Так как $\frac{S_k}{s} = \frac{v_k}{v_c}$, то $\left(\frac{S_k}{s}\right)^2 = \frac{v_k^2}{v_c^2}$. Получаем: $\frac{S_k^2}{s^2} = \frac{S_k}{S_k - 2l}$. $S_k(S_k - 2l) = s^2$. $S_k^2 - 2l S_k - s^2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $S_k$, используя формулу для корней: $S_k = \frac{-(-2l) \pm \sqrt{(-2l)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-s^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{2l \pm \sqrt{4l^2 + 4s^2}}{2} = l \pm \sqrt{l^2 + s^2}$.

Поскольку расстояние $S_k$ должно быть положительной величиной, а корень $\sqrt{l^2 + s^2}$ всегда больше $l$, то решение $l - \sqrt{l^2 + s^2}$ является отрицательным и не имеет физического смысла. Таким образом, искомое расстояние, пройденное курьером, равно: $S_k = l + \sqrt{l^2 + s^2}$.

а)
Дано: $l = 400$ м, $s = 300$ м.
Подставляем значения в полученную формулу: $S_k = 400 + \sqrt{400^2 + 300^2} = 400 + \sqrt{160000 + 90000} = 400 + \sqrt{250000} = 400 + 500 = 900$ м.
Ответ: 900 м.

б)
Дано: $l = 300$ м, $s = 400$ м.
Подставляем значения в полученную формулу: $S_k = 300 + \sqrt{300^2 + 400^2} = 300 + \sqrt{90000 + 160000} = 300 + \sqrt{250000} = 300 + 500 = 800$ м.
Ответ: 800 м.

1257. Колонна солдат длиной $l$ движется с постоянной скоростью по шоссе. Курьер из конца колонны отправился в её начало. Достигнув начала колонны, он тут же повернул обратно и пошёл в конец колонны с той же скоростью. Известно, что скорость курьера в $n$ раз больше скорости колонны. Определите путь колонны за то время, которое курьер потратил на путь в оба конца, если:

а) $l = 250$ м, $n = 1,5$;

б) $l = 300$ м, $n = 2$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $l$ — длина колонны;
• $v_к$ — скорость колонны;
• $v_c$ — скорость курьера;
• $n$ — коэффициент, показывающий, во сколько раз скорость курьера больше скорости колонны, то есть $v_c = n \cdot v_к$.

Задача состоит из двух этапов движения курьера: от конца колонны к началу и обратно. Найдем время, затраченное на каждый этап.

1. Движение курьера к началу колонны.

Курьер и колонна движутся в одном направлении. Чтобы догнать голову колонны, курьер должен преодолеть расстояние, равное длине колонны $l$. Его скорость относительно колонны (скорость сближения) равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_c - v_к = n \cdot v_к - v_к = v_к(n - 1)$

Время, затраченное на этот путь, обозначим как $t_1$:

$t_1 = \frac{l}{v_{сбл}} = \frac{l}{v_к(n - 1)}$

2. Движение курьера к концу колонны.

Достигнув начала колонны, курьер разворачивается и движется навстречу концу колонны. Теперь их скорости направлены в противоположные стороны. Скорость сближения курьера с концом колонны равна сумме их скоростей:

$v_{сбл}' = v_c + v_к = n \cdot v_к + v_к = v_к(n + 1)$

За то время, пока курьер догонял голову колонны, сама колонна сместилась вперед. Однако, так как и начало, и конец колонны движутся с одной скоростью, длина колонны $l$ остается неизменной. Поэтому для возвращения в конец курьеру снова нужно преодолеть расстояние $l$ относительно колонны.

Время, затраченное на обратный путь, обозначим как $t_2$:

$t_2 = \frac{l}{v_{сбл}'} = \frac{l}{v_к(n + 1)}$

3. Общее время и путь колонны.

Общее время движения курьера $T$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:

$T = t_1 + t_2 = \frac{l}{v_к(n - 1)} + \frac{l}{v_к(n + 1)}$

Приведем к общему знаменателю:

$T = \frac{l(n + 1) + l(n - 1)}{v_к(n - 1)(n + 1)} = \frac{ln + l + ln - l}{v_к(n^2 - 1)} = \frac{2ln}{v_к(n^2 - 1)}$

Нас интересует путь $S_к$, который прошла колонна за это время $T$. Он равен:

$S_к = v_к \cdot T = v_к \cdot \frac{2ln}{v_к(n^2 - 1)} = \frac{2ln}{n^2 - 1}$

Как видим, искомый путь не зависит от скорости колонны, а только от её длины и соотношения скоростей.

Теперь подставим числовые значения для каждого случая.

а) Дано: $l = 250$ м, $n = 1,5$.

Подставляем значения в выведенную формулу:

$S_к = \frac{2 \cdot 250 \cdot 1,5}{1,5^2 - 1} = \frac{500 \cdot 1,5}{2,25 - 1} = \frac{750}{1,25}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 4:

$S_к = \frac{750 \cdot 4}{1,25 \cdot 4} = \frac{3000}{5} = 600$ м.

Ответ: 600 м.

б) Дано: $l = 300$ м, $n = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$S_к = \frac{2 \cdot 300 \cdot 2}{2^2 - 1} = \frac{1200}{4 - 1} = \frac{1200}{3} = 400$ м.

Ответ: 400 м.