Номер 1255, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1255. Колонна солдат длиной $l$ м движется со скоростью $x$ м/мин. Из конца колонны в её начало отправляется сержант со скоростью $y$ м/мин, затем с той же скоростью он возвращается в конец колонны. На путь туда и обратно сержант затратил $t$ мин.

а) Выразите $t, l, x, y$ через остальные величины.

б) Вычислите $t$, если $l = 510, x = 70, y = 100$.

а) Выразите t, l, x, y через остальные величины.

Обозначим:
$l$ - длина колонны в метрах (м),
$x$ - скорость колонны в метрах в минуту (м/мин),
$y$ - скорость сержанта в метрах в минуту (м/мин),
$t$ - общее время движения сержанта в минутах (мин).

Для решения задачи удобнее всего рассматривать движение в системе отсчета, связанной с землей.

1. Движение сержанта из конца колонны в ее начало.
Сержант догоняет голову колонны. Скорость сближения сержанта с головой колонны (их относительная скорость) равна разности их скоростей, так как они движутся в одном направлении: $v_{отн1} = y - x$.
Сержанту нужно преодолеть расстояние, равное длине колонны $l$. Время, затраченное на этот путь ($t_1$), составляет:
$t_1 = \frac{l}{y - x}$

2. Движение сержанта из начала колонны в ее конец.
Сержант возвращается обратно, двигаясь навстречу хвосту колонны. Их относительная скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{отн2} = y + x$.
Сержанту снова нужно преодолеть расстояние, равное длине колонны $l$. Время, затраченное на обратный путь ($t_2$), составляет:
$t_2 = \frac{l}{y + x}$

Выражение для $t$:
Общее время $t$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:
$t = t_1 + t_2 = \frac{l}{y - x} + \frac{l}{y + x}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y - x)(y + x) = y^2 - x^2$:
$t = l \left( \frac{y + x + y - x}{(y - x)(y + x)} \right) = l \frac{2y}{y^2 - x^2}$
Итак, формула для $t$: $t = \frac{2ly}{y^2 - x^2}$

Теперь, используя эту основную формулу, выразим остальные переменные.

Выражение для $l$:
Из $t = \frac{2ly}{y^2 - x^2}$ получаем $t(y^2 - x^2) = 2ly$.
Отсюда $l = \frac{t(y^2 - x^2)}{2y}$

Выражение для $x$:
Из $t(y^2 - x^2) = 2ly$ выразим $y^2 - x^2 = \frac{2ly}{t}$.
$x^2 = y^2 - \frac{2ly}{t}$
$x = \sqrt{y^2 - \frac{2ly}{t}}$ (скорость $x$ не может быть отрицательной).

Выражение для $y$:
Преобразуем основное уравнение $t(y^2 - x^2) = 2ly$ в квадратное уравнение относительно $y$:
$ty^2 - tx^2 = 2ly$
$ty^2 - 2ly - tx^2 = 0$
Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения $ay^2+by+c=0$, где $a=t, b=-2l, c=-tx^2$:
$y = \frac{-(-2l) \pm \sqrt{(-2l)^2 - 4(t)(-tx^2)}}{2t} = \frac{2l \pm \sqrt{4l^2 + 4t^2x^2}}{2t} = \frac{2l \pm 2\sqrt{l^2 + t^2x^2}}{2t}$
$y = \frac{l \pm \sqrt{l^2 + t^2x^2}}{t}$
Поскольку $\sqrt{l^2 + t^2x^2} > \sqrt{l^2} = l$, корень со знаком "минус" даст отрицательное значение скорости, что физически невозможно. Следовательно, выбираем корень со знаком "плюс":
$y = \frac{l + \sqrt{l^2 + t^2x^2}}{t}$

Ответ: $t = \frac{2ly}{y^2 - x^2}$, $l = \frac{t(y^2 - x^2)}{2y}$, $x = \sqrt{y^2 - \frac{2ly}{t}}$, $y = \frac{l + \sqrt{l^2 + t^2x^2}}{t}$

б) Вычислите t, если l = 510, x = 70, y = 100.

Для вычисления $t$ используем формулу, полученную в пункте а):
$t = \frac{2ly}{y^2 - x^2}$

Подставим в нее известные значения: $l = 510$ м, $x = 70$ м/мин, $y = 100$ м/мин.
$t = \frac{2 \cdot 510 \cdot 100}{100^2 - 70^2}$

Выполним вычисления:
Числитель: $2 \cdot 510 \cdot 100 = 1020 \cdot 100 = 102000$.
Знаменатель: $100^2 - 70^2 = 10000 - 4900 = 5100$.

Теперь найдем $t$:
$t = \frac{102000}{5100} = \frac{1020}{51} = 20$

Ответ: $t = 20$ мин.