Номер 1249, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1249. Спелеолог для выяснения глубины подземной полости бросил вниз без начальной скорости камень. Звук от падения камня на дно полости дошёл до спелеолога через 3 с. Какова глубина подземной полости, если принять скорость звука равной 330 м/с и пренебречь сопротивлением воздуха? Считать, что $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Дано:
Начальная скорость камня, $v_0 = 0$ м/с
Общее время от броска до прихода звука, $t_{общ} = 3$ с
Скорость звука в воздухе, $v_{зв} = 330$ м/с
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:
Глубину подземной полости, $h$

Решение:
Общее время $t_{общ}$, которое измерил спелеолог, состоит из двух частей: времени падения камня ($t_{пад}$) и времени, за которое звук от падения дошел обратно до спелеолога ($t_{зв}$).

$t_{общ} = t_{пад} + t_{зв}$

1. Найдем время падения камня.
Камень падает без начальной скорости. Движение камня — равноускоренное. Глубина полости $h$ связана со временем падения $t_{пад}$ формулой:
$h = v_0 t_{пад} + \frac{g t_{пад}^2}{2}$
Так как $v_0 = 0$, формула упрощается:
$h = \frac{g t_{пад}^2}{2}$
Выразим из этой формулы время падения $t_{пад}$:
$t_{пад} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

2. Найдем время распространения звука.
Звук распространяется с постоянной скоростью $v_{зв}$. Он проходит то же расстояние $h$ вверх. Время его движения $t_{зв}$ можно найти по формуле:
$h = v_{зв} \cdot t_{зв}$
Выразим из этой формулы время распространения звука $t_{зв}$:
$t_{зв} = \frac{h}{v_{зв}}$

3. Составим и решим итоговое уравнение.
Подставим выражения для $t_{пад}$ и $t_{зв}$ в основное уравнение:
$t_{общ} = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v_{зв}}$
Теперь подставим известные значения:
$3 = \sqrt{\frac{2h}{9,8}} + \frac{h}{330}$
Это уравнение относительно одной неизвестной $h$. Для его решения перенесем одно из слагаемых и возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня.
$3 - \frac{h}{330} = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$
$\left(3 - \frac{h}{330}\right)^2 = \frac{2h}{9,8}$
Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{h}{330} + \left(\frac{h}{330}\right)^2 = \frac{h}{4,9}$
$9 - \frac{6h}{330} + \frac{h^2}{108900} = \frac{h}{4,9}$
$9 - \frac{h}{55} + \frac{h^2}{108900} = \frac{h}{4,9}$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:
$\frac{1}{108900}h^2 - \left(\frac{1}{55} + \frac{1}{4,9}\right)h + 9 = 0$
Вычислим коэффициенты:
$A = \frac{1}{108900} \approx 0,00000918$
$B = -\left(\frac{1}{55} + \frac{1}{4,9}\right) \approx -(0,01818 + 0,20408) \approx -0,22226$
$C = 9$
Получаем квадратное уравнение:
$0,00000918h^2 - 0,22226h + 9 = 0$
Решим его через дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-0,22226)^2 - 4 \cdot 0,00000918 \cdot 9 \approx 0,049399 - 0,00033048 \approx 0,0490685$
$\sqrt{D} \approx \sqrt{0,0490685} \approx 0,221514$
Найдем корни уравнения $h_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$h_1 = \frac{0,22226 + 0,221514}{2 \cdot 0,00000918} = \frac{0,443774}{0,00001836} \approx 24170$ м
$h_2 = \frac{0,22226 - 0,221514}{2 \cdot 0,00000918} = \frac{0,000746}{0,00001836} \approx 40,6$ м
Первый корень $h_1 \approx 24$ км является физически неправдоподобным для глубины пещеры. Он возникает как побочное решение из-за возведения уравнения в квадрат. Второй корень $h_2 \approx 40,6$ м является реалистичным.

Проверим второй корень:
Время падения: $t_{пад} = \sqrt{\frac{2 \cdot 40,6}{9,8}} \approx \sqrt{8,286} \approx 2,878$ с
Время звука: $t_{зв} = \frac{40,6}{330} \approx 0,123$ с
Общее время: $t_{общ} = 2,878 + 0,123 = 3,001 \approx 3$ с. Решение верное.

Ответ: глубина подземной полости составляет примерно 40,6 м.