Номер 1252, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1252. При постройке здания требовалось вынуть $8000 \text{ м}^3$ земли в определённый срок. Работа была закончена раньше срока на 8 дней, так как бригада ежедневно перевыполняла план на $50 \text{ м}^3$. Определите, в какой срок должна была быть выполнена работа, а также ежедневный процент выполнения плана.

Для решения задачи введем переменные:

• $V$ — общий объем работы, равный $8000 \text{ м}^3$.
• $t$ — планируемый срок выполнения работы в днях.
• $p_{план}$ — планируемая ежедневная производительность (объем работ в день).

Исходя из этих обозначений, можно выразить другие величины из условия задачи:

• Планируемая ежедневная производительность: $p_{план} = \frac{V}{t} = \frac{8000}{t}$.
• Фактический срок выполнения работы был на 8 дней меньше: $t_{факт} = t - 8$ дней.
• Фактическая ежедневная производительность была на $50 \text{ м}^3$ больше: $p_{факт} = p_{план} + 50 = \frac{8000}{t} + 50$.

Общий объем работы равен произведению фактической производительности на фактическое время:

$V = p_{факт} \cdot t_{факт}$

Подставим известные значения и выражения в это уравнение:

$8000 = \left(\frac{8000}{t} + 50\right) \cdot (t - 8)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $t$. Для этого раскроем скобки:

$8000 = \frac{8000}{t} \cdot t - \frac{8000}{t} \cdot 8 + 50 \cdot t - 50 \cdot 8$

$8000 = 8000 - \frac{64000}{t} + 50t - 400$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы приравнять его к нулю:

$8000 - 8000 + \frac{64000}{t} - 50t + 400 = 0$

$\frac{64000}{t} - 50t + 400 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $t$ (при условии, что $t \neq 0$, что является верным, так как $t$ — это срок в днях):

$64000 - 50t^2 + 400t = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на $-50$ и приведем его к стандартному виду $at^2 + bt + c = 0$:

$t^2 - 8t - 1280 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1280) = 64 + 5120 = 5184$

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{5184}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 72}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{5184}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 72}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Поскольку срок выполнения работы ($t$) не может быть отрицательной величиной, единственным верным решением является $t = 40$.

в какой срок должна была быть выполнена работа

Исходя из решения уравнения, планируемый срок, в который должна была быть выполнена работа, составляет 40 дней.

Ответ: 40 дней.

ежедневный процент выполнения плана

Для определения ежедневного процента выполнения плана необходимо найти плановую и фактическую производительность.

Плановая ежедневная производительность: $p_{план} = \frac{\text{Общий объем}}{\text{Плановый срок}} = \frac{8000 \text{ м}^3}{40 \text{ дней}} = 200 \text{ м}^3/\text{день}$.

Фактическая ежедневная производительность была на $50 \text{ м}^3$ больше: $p_{факт} = 200 + 50 = 250 \text{ м}^3/\text{день}$.

Теперь рассчитаем, какой процент фактическая производительность составляет от плановой:

$\frac{p_{факт}}{p_{план}} \cdot 100\% = \frac{250 \text{ м}^3/\text{день}}{200 \text{ м}^3/\text{день}} \cdot 100\% = 1,25 \cdot 100\% = 125\%$

Ответ: 125%.