Номер 1246, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1246. Закон прямолинейного движения материальной точки задан формулой:

а) $s = 5t^2, t \ge 0;$

б) $s = 10t + 5t^2, t \ge 0;$

в) $s = 10t - 5t^2, t \ge 0.$

1) Нарисуйте график движения.

2) Определите $s$ в момент времени $t = 0$.

3) Определите скорость точки в момент времени $t = 0$.

4) Укажите, в какую сторону направлена сила, действующая на точку.

а) $s = 5t^2, t \ge 0$

1. 1) Нарисуйте график движения.

   Закон движения $s(t) = 5t^2$ представляет собой квадратичную функцию. Графиком такой функции является парабола. Так как коэффициент при $t^2$ положителен ($5 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке, где $t=0$, следовательно, $s=0$. Таким образом, вершина находится в начале координат $(0, 0)$. Условие $t \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только правую ветвь параболы, начинающуюся из начала координат.
   Ответ: График движения — это правая ветвь параболы $s=5t^2$ с вершиной в начале координат.

2. 2) Определите s в момент времени t = 0.

   Для определения положения точки в начальный момент времени, подставим $t=0$ в уравнение движения: $s(0) = 5 \cdot 0^2 = 0$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ положение точки $s=0$.

3. 3) Определите скорость точки в момент времени t = 0.

   Скорость $v(t)$ является первой производной от перемещения $s(t)$ по времени $t$: $v(t) = s'(t) = (5t^2)' = 2 \cdot 5t = 10t$. Теперь найдем скорость в момент времени $t=0$: $v(0) = 10 \cdot 0 = 0$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ скорость точки равна $0$.

4. 4) Укажите, в какую сторону направлена сила, действующая на точку.

   Согласно второму закону Ньютона, направление силы совпадает с направлением ускорения ($F=ma$). Ускорение $a(t)$ является первой производной от скорости $v(t)$ по времени $t$: $a(t) = v'(t) = (10t)' = 10$. Ускорение постоянно и положительно ($a = 10 > 0$). Следовательно, сила направлена в положительном направлении оси $s$.
   Ответ: Сила направлена в сторону положительного направления оси $s$.

б) $s = 10t + 5t^2, t \ge 0$

1. 1) Нарисуйте график движения.

   Закон движения $s(t) = 10t + 5t^2$ также является квадратичной функцией. Это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ равен $5 > 0$). Вершина параболы находится в точке с координатой $t_v = -b/(2a) = -10/(2 \cdot 5) = -1$. Так как по условию $t \ge 0$, мы рассматриваем часть параболы, начинающуюся в точке $t=0$. При $t=0$, $s(0)=0$. На промежутке $t \ge 0$ функция возрастает.
   Ответ: График движения — это часть параболы $s=10t+5t^2$, начинающаяся в начале координат и идущая вверх.

2. 2) Определите s в момент времени t = 0.

   Подставим $t=0$ в уравнение движения: $s(0) = 10 \cdot 0 + 5 \cdot 0^2 = 0$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ положение точки $s=0$.

3. 3) Определите скорость точки в момент времени t = 0.

   Найдем производную от перемещения по времени: $v(t) = s'(t) = (10t + 5t^2)' = 10 + 10t$. Скорость в момент времени $t=0$: $v(0) = 10 + 10 \cdot 0 = 10$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ скорость точки равна $10$.

4. 4) Укажите, в какую сторону направлена сила, действующая на точку.

   Найдем ускорение как производную от скорости: $a(t) = v'(t) = (10 + 10t)' = 10$. Ускорение постоянно и положительно ($a = 10 > 0$). Значит, сила направлена в положительном направлении оси $s$.
   Ответ: Сила направлена в сторону положительного направления оси $s$.

в) $s = 10t - 5t^2, t \ge 0$

1. 1) Нарисуйте график движения.

   Закон движения $s(t) = 10t - 5t^2$ — квадратичная функция. График — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ равен $-5 < 0$). Найдем вершину параболы: $t_v = -b/(2a) = -10/(2 \cdot (-5)) = 1$. При $t=1$, $s(1) = 10 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 5$. Вершина находится в точке $(1, 5)$. График начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума в точке $(1, 5)$, а затем убывает, пересекая ось $t$ в точке $t=2$ ($10t - 5t^2 = 5t(2-t) = 0$).
   Ответ: График движения — это дуга параболы, выходящая из начала координат, достигающая максимального значения $s=5$ при $t=1$ и возвращающаяся к $s=0$ при $t=2$.

2. 2) Определите s в момент времени t = 0.

   Подставим $t=0$ в уравнение движения: $s(0) = 10 \cdot 0 - 5 \cdot 0^2 = 0$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ положение точки $s=0$.

3. 3) Определите скорость точки в момент времени t = 0.

   Найдем производную от перемещения по времени: $v(t) = s'(t) = (10t - 5t^2)' = 10 - 10t$. Скорость в момент времени $t=0$: $v(0) = 10 - 10 \cdot 0 = 10$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ скорость точки равна $10$.

4. 4) Укажите, в какую сторону направлена сила, действующая на точку.

   Найдем ускорение как производную от скорости: $a(t) = v'(t) = (10 - 10t)' = -10$. Ускорение постоянно и отрицательно ($a = -10 < 0$). Следовательно, сила направлена в отрицательном направлении оси $s$, то есть против начального направления движения.
   Ответ: Сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси $s$.