Номер 1253, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1253. Бригада трактористов должна была вспахать участок целины площадью 120 га. Однако бригаде удалось увеличить норму дневной выработки на 2 га. В результате срок вспашки сократился на 2 дня. Каково было дневное задание бригаде и в какой срок нужно было выполнить работу?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это плановая дневная норма выработки (дневное задание) в гектарах в день (га/день), а $t$ — плановый срок выполнения работы в днях.

Общая площадь участка, который нужно было вспахать, составляет 120 га. Связь между работой, производительностью и временем для плановых показателей выражается уравнением:
$120 = x \cdot t$
Из этого уравнения мы можем выразить плановый срок $t$ через плановую норму $x$:
$t = \frac{120}{x}$

По условию задачи, бригада увеличила норму дневной выработки на 2 га, следовательно, фактическая норма составила $(x + 2)$ га/день. В результате срок вспашки сократился на 2 дня, то есть фактическое время работы составило $(t - 2)$ дней. За это время была выполнена та же работа, что описывается вторым уравнением:
$120 = (x + 2) \cdot (t - 2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе:
$120 = (x + 2) \cdot (\frac{120}{x} - 2)$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$120 = (x + 2) \cdot (\frac{120 - 2x}{x})$
Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что логично, так как норма выработки не может быть нулевой):
$120x = (x + 2)(120 - 2x)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$120x = 120x - 2x^2 + 240 - 4x$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$120x - 120x + 2x^2 - 240 + 4x = 0$
$2x^2 + 4x - 240 = 0$
Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$x^2 + 2x - 120 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$
$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку $x$ представляет собой дневную норму выработки, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -12$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Таким образом, плановое дневное задание составляло 10 га/день.

Теперь, зная плановую норму, мы можем найти плановый срок выполнения работы:
$t = \frac{120}{x} = \frac{120}{10} = 12$ дней.

Каково было дневное задание бригаде и в какой срок нужно было выполнить работу?
На основании проведенных вычислений, плановое дневное задание для бригады составляло 10 гектаров, и выполнить эту работу нужно было в срок 12 дней.
Ответ: дневное задание бригаде было 10 га, а срок, в который нужно было выполнить работу, — 12 дней.