Номер 1259, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1259. Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют бассейн за 4 ч. Для наполнения бассейна наполовину первому насосу требуется время на 4 ч больше, чем второму насосу для наполнения бассейна на три четверти. За какое время может наполнить бассейн каждый из насосов в отдельности?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_1$ — это время в часах, за которое первый насос может наполнить весь бассейн, работая в одиночку, а $t_2$ — время в часах для второго насоса.

Производительность (или мощность) первого насоса составляет $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть бассейна в час), а производительность второго насоса — $P_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть бассейна в час).

Из первого условия задачи известно, что, работая вместе, два насоса наполняют бассейн за 4 часа. Их совместная производительность равна $P_1 + P_2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$(P_1 + P_2) \cdot 4 = 1$

Подставив выражения для производительностей, получим:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 4 = 1$

Отсюда следует первое уравнение системы:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}$

Из второго условия задачи известно, что для наполнения половины бассейна ($1/2$ объема) первому насосу требуется на 4 часа больше, чем второму насосу для наполнения бассейна на три четверти ($3/4$ объема).

Время, которое требуется первому насосу для наполнения половины бассейна, равно $T_1 = \frac{1/2 \text{ объема}}{P_1} = \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$ часа.

Время, которое требуется второму насосу для наполнения трех четвертей бассейна, равно $T_2 = \frac{3/4 \text{ объема}}{P_2} = \frac{3/4}{1/t_2} = \frac{3}{4}t_2$ часа.

По условию $T_1 = T_2 + 4$. Составляем второе уравнение системы:

$\frac{t_1}{2} = \frac{3}{4}t_2 + 4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \\ \frac{t_1}{2} = \frac{3}{4}t_2 + 4 \end{cases} $$

Выразим $t_1$ из второго уравнения. Для этого сначала умножим его на 4, чтобы избавиться от дробей:

$2t_1 = 3t_2 + 16$

$t_1 = \frac{3t_2 + 16}{2}$

Подставим это выражение для $t_1$ в первое уравнение:

$\frac{1}{\frac{3t_2 + 16}{2}} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}$

$\frac{2}{3t_2 + 16} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_2(3t_2 + 16)$:

$\frac{2t_2 + (3t_2 + 16)}{t_2(3t_2 + 16)} = \frac{1}{4}$

$\frac{5t_2 + 16}{3t_2^2 + 16t_2} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$4(5t_2 + 16) = 1(3t_2^2 + 16t_2)$

$20t_2 + 64 = 3t_2^2 + 16t_2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3t_2^2 - 4t_2 - 64 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-64) = 16 + 768 = 784$

$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни для $t_2$:

$t_{2,1} = \frac{4 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

$t_{2,2} = \frac{4 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$

Так как время не может быть отрицательным, корень $t_{2,2} = -4$ не подходит по смыслу задачи. Значит, время работы второго насоса $t_2 = \frac{16}{3}$ часа.

$\frac{16}{3}$ часа = $5 \frac{1}{3}$ часа = 5 часов и $\frac{1}{3} \cdot 60$ минут = 5 часов 20 минут.

Теперь найдем время работы первого насоса $t_1$, подставив значение $t_2$ в ранее полученное выражение:

$t_1 = \frac{3t_2 + 16}{2} = \frac{3 \cdot (\frac{16}{3}) + 16}{2} = \frac{16 + 16}{2} = \frac{32}{2} = 16$ часов.

Таким образом, первый насос наполняет бассейн за 16 часов, а второй — за $5 \frac{1}{3}$ часа.

Ответ: первый насос может наполнить бассейн за 16 часов, второй насос — за $5 \frac{1}{3}$ часа (что составляет 5 часов 20 минут).