Номер 1257, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1257. Колонна солдат длиной $l$ движется с постоянной скоростью по шоссе. Курьер из конца колонны отправился в её начало. Достигнув начала колонны, он тут же повернул обратно и пошёл в конец колонны с той же скоростью. Известно, что скорость курьера в $n$ раз больше скорости колонны. Определите путь колонны за то время, которое курьер потратил на путь в оба конца, если:

а) $l = 250$ м, $n = 1,5$;

б) $l = 300$ м, $n = 2$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $l$ — длина колонны;
• $v_к$ — скорость колонны;
• $v_c$ — скорость курьера;
• $n$ — коэффициент, показывающий, во сколько раз скорость курьера больше скорости колонны, то есть $v_c = n \cdot v_к$.

Задача состоит из двух этапов движения курьера: от конца колонны к началу и обратно. Найдем время, затраченное на каждый этап.

1. Движение курьера к началу колонны.

Курьер и колонна движутся в одном направлении. Чтобы догнать голову колонны, курьер должен преодолеть расстояние, равное длине колонны $l$. Его скорость относительно колонны (скорость сближения) равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_c - v_к = n \cdot v_к - v_к = v_к(n - 1)$

Время, затраченное на этот путь, обозначим как $t_1$:

$t_1 = \frac{l}{v_{сбл}} = \frac{l}{v_к(n - 1)}$

2. Движение курьера к концу колонны.

Достигнув начала колонны, курьер разворачивается и движется навстречу концу колонны. Теперь их скорости направлены в противоположные стороны. Скорость сближения курьера с концом колонны равна сумме их скоростей:

$v_{сбл}' = v_c + v_к = n \cdot v_к + v_к = v_к(n + 1)$

За то время, пока курьер догонял голову колонны, сама колонна сместилась вперед. Однако, так как и начало, и конец колонны движутся с одной скоростью, длина колонны $l$ остается неизменной. Поэтому для возвращения в конец курьеру снова нужно преодолеть расстояние $l$ относительно колонны.

Время, затраченное на обратный путь, обозначим как $t_2$:

$t_2 = \frac{l}{v_{сбл}'} = \frac{l}{v_к(n + 1)}$

3. Общее время и путь колонны.

Общее время движения курьера $T$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:

$T = t_1 + t_2 = \frac{l}{v_к(n - 1)} + \frac{l}{v_к(n + 1)}$

Приведем к общему знаменателю:

$T = \frac{l(n + 1) + l(n - 1)}{v_к(n - 1)(n + 1)} = \frac{ln + l + ln - l}{v_к(n^2 - 1)} = \frac{2ln}{v_к(n^2 - 1)}$

Нас интересует путь $S_к$, который прошла колонна за это время $T$. Он равен:

$S_к = v_к \cdot T = v_к \cdot \frac{2ln}{v_к(n^2 - 1)} = \frac{2ln}{n^2 - 1}$

Как видим, искомый путь не зависит от скорости колонны, а только от её длины и соотношения скоростей.

Теперь подставим числовые значения для каждого случая.

а) Дано: $l = 250$ м, $n = 1,5$.

Подставляем значения в выведенную формулу:

$S_к = \frac{2 \cdot 250 \cdot 1,5}{1,5^2 - 1} = \frac{500 \cdot 1,5}{2,25 - 1} = \frac{750}{1,25}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 4:

$S_к = \frac{750 \cdot 4}{1,25 \cdot 4} = \frac{3000}{5} = 600$ м.

Ответ: 600 м.

б) Дано: $l = 300$ м, $n = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$S_к = \frac{2 \cdot 300 \cdot 2}{2^2 - 1} = \frac{1200}{4 - 1} = \frac{1200}{3} = 400$ м.

Ответ: 400 м.